西北工业大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle b>a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在 x=0 附近的行为，确认积分收敛性
当 $x \to 0$ 时，利用余弦函数的泰勒展开：$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4)$，则分子为：
$$\cos(ax) - \cos(bx) = \left(1 - \frac{a^2 x^2}{2} + O(x^4)\right) - \left(1 - \frac{b^2 x^2}{2} + O(x^4)\right) = \frac{b^2 - a^2}{2} x^2 + O(x^4).$$
因此被积函数在 $x \to 0$ 时趋于 $\frac{b^2 - a^2}{2}$，为有限值，故 $x=0$ 不是奇点，积分收敛。
公式：$$\frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x^2} \sim \frac{b^2-a^2}{2} \quad (x \to 0)$$
提示：注意检查被积函数在积分区间端点是否有奇点，这是判断积分收敛性的关键步骤。
步骤 2/5
目标：将分子差转化为积分形式，简化被积函数
利用恒等式：对 $t$ 从 $a$ 到 $b$ 积分 $\sin(tx)$，有
$$\int_a^b \sin(tx) \, dt = \left. -\frac{\cos(tx)}{x} \right|_{t=a}^{t=b} = \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x}.$$
因此原被积函数可改写为：
$$\frac{\cos a x - \cos b x}{x^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos a x - \cos b x}{x} = \frac{1}{x} \int_a^b \sin(tx) \, dt.$$
公式：$$\frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x} = \int_a^b \sin(tx) \, dt$$
提示：这种将差写成积分的形式是处理含参积分的常用技巧，可以交换积分次序。
步骤 3/5
目标：交换积分次序，将二重积分化为累次积分
原积分变为：
$$I = \int_0^{+\infty} \frac{1}{x} \left( \int_a^b \sin(tx) \, dt \right) dx.$$
由于被积函数在区域 $(0, +\infty) \times (a, b)$ 上绝对可积（可验证），根据 Fubini 定理，可以交换积分次序：
$$I = \int_a^b \left( \int_0^{+\infty} \frac{\sin(tx)}{x} \, dx \right) dt.$$
公式：$$I = \int_a^b \left( \int_0^{+\infty} \frac{\sin(tx)}{x} \, dx \right) dt$$
提示：交换积分次序前需确认被积函数的绝对可积性，避免形式运算导致错误。
步骤 4/5
目标：计算内层狄利克雷积分
内层积分为经典的狄利克雷积分：对于任意 $t > 0$，有
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(tx)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}.$$
这里 $t \in (a, b)$ 且 $a > 0$，故 $t > 0$ 恒成立，可直接使用该结果。
公式：$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(kx)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}, \quad k > 0$$
提示：狄利克雷积分是重要结论，其证明通常利用含参积分或复变函数方法，可直接引用。
步骤 5/5
目标：完成外层积分，得到最终结果
将内层积分结果代入，外层积分变为对常数 $\frac{\pi}{2}$ 在区间 $[a, b]$ 上积分：
$$I = \int_a^b \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} (b - a).$$
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x - \cos b x}{x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}(b - a)$$
提示：最终结果仅与 $b-a$ 有关，与 $a, b$ 的具体数值无关，体现了积分的平移对称性。
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