西北工业大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle x, y>0$ ，用条件极值方法证明 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化为条件极值问题
设 $x+y=2a$，其中 $a>0$。则原不等式等价于证明 $\frac{x^n+y^n}{2} \ge a^n$。因此，在约束 $x+y=2a$ 下，求函数 $f(x,y)=\frac{x^n+y^n}{2}$ 的最小值。
公式：x+y=2a,\quad f(x,y)=\frac{x^n+y^n}{2}
提示：固定和是为了将不等式转化为求最小值问题，注意 $a$ 是正数。
步骤 2/5
目标：构造拉格朗日函数并求偏导
构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=\frac{x^n+y^n}{2}+\lambda(x+y-2a)$。分别对 $x$、$y$、$\lambda$ 求偏导：
$$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{n}{2}x^{n-1}+\lambda=0$$
$$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{n}{2}y^{n-1}+\lambda=0$$
$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-2a=0$$
公式：\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{n}{2}x^{n-1}+\lambda=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{n}{2}y^{n-1}+\lambda=0
提示：注意偏导数的计算，$\lambda$ 是拉格朗日乘子。
步骤 3/5
目标：解方程组得到驻点
由前两个方程得 $\frac{n}{2}x^{n-1}=-\lambda=\frac{n}{2}y^{n-1}$，即 $x^{n-1}=y^{n-1}$。由于 $x,y>0$ 且 $n-1\ge0$，幂函数严格单调，故 $x=y$。代入约束 $x+y=2a$ 得 $x=y=a$。
公式：x^{n-1}=y^{n-1}\Rightarrow x=y,\quad x=y=a
提示：当 $n=1$ 时，$x^{0}=y^{0}=1$，等式恒成立，但 $x=y$ 仍可由约束推出。
步骤 4/5
目标：判断极值类型并比较边界值
在驻点 $(a,a)$ 处，$f(a,a)=a^n$。考虑边界情况：当 $x\to0^+$，$y\to2a$ 时，$f(0,2a)=\frac{0^n+(2a)^n}{2}=2^{n-1}a^n$。由于 $n\ge1$，$2^{n-1}\ge1$，且当 $n>1$ 时严格大于1，故边界值大于 $a^n$。因此 $(a,a)$ 是极小值点，也是最小值点。
公式：f(a,a)=a^n,\quad f(0,2a)=2^{n-1}a^n
提示：边界情况只需考虑一端，因为函数对称。注意 $n=1$ 时不等式取等。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，对于任意满足 $x+y=2a$ 的正数 $x,y$，有 $\frac{x^n+y^n}{2}\ge a^n=\left(\frac{x+y}{2}\right)^n$，即原不等式成立，等号当且仅当 $x=y$ 时成立。
公式：\frac{x^n+y^n}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^n
提示：这是幂平均不等式的一个特例，等号成立条件为 $x=y$。
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