西北工业大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，证明：存在 $\displaystyle a, b>0$ 使得 $\displaystyle |f(x)| \leq a|x|+b$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解一致连续的定义并取定参数
由一致连续的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - y| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。我们取 $\varepsilon = 1$，则存在 $\delta_0 > 0$，使得当 $|x - y| < \delta_0$ 时，$|f(x) - f(y)| < 1$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：取 $\varepsilon=1$ 是常用的技巧，因为我们需要一个固定的误差界来估计函数值的增长。
步骤 2/5
目标：将区间分割成小段并利用一致连续性控制增量
对任意 $x \geq 0$，令 $n = \left\lfloor \frac{x}{\delta_0} \right\rfloor$。考虑点列 $0, \delta_0, 2\delta_0, \dots, n\delta_0, x$。相邻两点距离均不超过 $\delta_0$，因此每相邻两点函数值之差小于 1。于是有：
$$|f(x) - f(0)| \leq |f(x) - f(n\delta_0)| + \sum_{k=1}^{n} |f(k\delta_0) - f((k-1)\delta_0)| \leq (n+1) \cdot 1 = n+1.$$
公式：$|f(x)-f(0)| \leq n+1$
提示：注意从 $n\delta_0$ 到 $x$ 这一步的距离也小于 $\delta_0$，所以同样适用一致连续条件。
步骤 3/5
目标：将整数界转化为线性界
由于 $n = \left\lfloor \frac{x}{\delta_0} \right\rfloor \leq \frac{x}{\delta_0}$，代入上一步得到：
$$|f(x) - f(0)| \leq \frac{x}{\delta_0} + 1.$$
公式：$|f(x)-f(0)| \leq \frac{x}{\delta_0} + 1$
提示：这里用到了取整不等式 $\lfloor t \rfloor \leq t$，这是将离散估计转化为连续估计的关键。
步骤 4/5
目标：利用三角不等式得到最终上界
由三角不等式：
$$|f(x)| \leq |f(0)| + |f(x)-f(0)| \leq |f(0)| + \frac{x}{\delta_0} + 1.$$
令 $a = \frac{1}{\delta_0} > 0$，$b = |f(0)| + 1 > 0$，则对任意 $x \geq 0$ 有：
$$|f(x)| \leq a x + b.$$
公式：$|f(x)| \leq \frac{1}{\delta_0} x + (|f(0)|+1)$
提示：注意 $x \geq 0$ 时 $|x| = x$，所以结论中的 $|x|$ 可直接写为 $x$。$a,b$ 的正数性质由 $\delta_0>0$ 和 $|f(0)|$ 有限保证。
步骤 5/5
目标：总结证明并确认结论
我们已从一致连续性出发，通过分割区间、逐段估计、取整放缩和三角不等式，得到了线性上界 $|f(x)| \leq a x + b$，其中 $a = 1/\delta_0$，$b = |f(0)|+1$。由于 $\delta_0 > 0$ 且 $|f(0)|$ 是有限实数，$a,b > 0$ 成立。证毕。
公式：结论：$\exists a,b>0, \forall x \geq 0: |f(x)| \leq a x + b$
提示：该结论说明一致连续函数在无穷区间上至多线性增长，这是分析中一个重要的定性性质。
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