西北工业大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8．（15 分）计算曲面积分
$$
I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1$ ，取其外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别积分类型并尝试应用高斯公式
观察曲面积分的形式，发现被积表达式为第二类曲面积分，且具有对称性。设向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$，$Q = \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$，$R = \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。则原积分可写为 $I = \iint_S P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy$。考虑使用高斯散度定理：$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV$，其中 $V$ 是 $S$ 所围成的区域。
公式：$\iint_S P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$
提示：注意高斯公式要求向量场在区域内部连续可微，且曲面取外侧。
步骤 2/5
目标：计算散度并发现奇点
计算散度 $\nabla \cdot \vec{F}$。令 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则 $P = x r^{-3}$。求偏导：$\frac{\partial P}{\partial x} = r^{-3} + x \cdot (-3) r^{-4} \cdot \frac{x}{r} = r^{-3} - 3x^2 r^{-5}$。同理，$\frac{\partial Q}{\partial y} = r^{-3} - 3y^2 r^{-5}$，$\frac{\partial R}{\partial z} = r^{-3} - 3z^2 r^{-5}$。相加得：$\nabla \cdot \vec{F} = 3r^{-3} - 3(x^2+y^2+z^2) r^{-5} = 3r^{-3} - 3r^2 r^{-5} = 0$。散度处处为0，但在原点 $(0,0,0)$ 处函数无定义（奇点）。
公式：$\nabla \cdot \vec{F} = 0$，当 $r \neq 0$
提示：散度为0是常见结果，但奇点的存在使得不能直接对整个椭球内部应用高斯公式。
步骤 3/5
目标：判断奇点位置并采用挖洞法
曲面 $S$ 是椭球 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=1$，原点 $(0,0,0)$ 满足 $0<1$，故原点在椭球内部。由于被积函数在原点奇异，不能直接对椭球内部应用高斯公式。采用挖洞法：作一个半径足够小的球面 $S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2 = \varepsilon^2$，取内侧方向（法向量指向球心）。在椭球面 $S$ 与小球面 $S_\varepsilon$ 之间的区域 $V'$ 内，散度处处为0。对区域 $V'$ 应用高斯公式，注意边界由 $S$（外侧）和 $S_\varepsilon$（内侧）组成，有：$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} + \iint_{S_\varepsilon(内侧)} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_{V'} 0 \, dV = 0$。因此 $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = - \iint_{S_\varepsilon(内侧)} \vec{F} \cdot d\vec{S}$。而内侧积分等于负的外侧积分：$\iint_{S_\varepsilon(内侧)} = - \iint_{S_\varepsilon(外侧)}$，所以 $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_{S_\varepsilon(外侧)} \vec{F} \cdot d\vec{S}$。原积分等于小球面外侧的积分。
公式：$\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_{S_\varepsilon(外侧)} \vec{F} \cdot d\vec{S}$
提示：挖洞法处理奇点的关键是新曲面的方向要与原曲面围成的区域一致，通常取内侧以抵消奇点。
步骤 4/5
目标：计算小球面上的曲面积分
在球面 $S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2 = \varepsilon^2$ 上，分母 $\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3} = \varepsilon^3$ 为常数。积分变为：$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy}{\varepsilon^3}$。将第二类曲面积分转化为第一类：外侧单位法向量为 $\vec{n} = (x/\varepsilon, y/\varepsilon, z/\varepsilon)$，且 $x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy = \vec{r} \cdot d\vec{S}$，其中 $\vec{r} = (x,y,z)$，$d\vec{S} = \vec{n} \, dS$。于是 $\vec{r} \cdot d\vec{S} = (x,y,z) \cdot (x/\varepsilon, y/\varepsilon, z/\varepsilon) \, dS = \frac{x^2+y^2+z^2}{\varepsilon} \, dS = \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon} \, dS = \varepsilon \, dS$。被积表达式化为 $\frac{\varepsilon \, dS}{\varepsilon^3} = \frac{1}{\varepsilon^2} \, dS$。积分 $\iint_{S_\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon^2} \, dS = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot (4\pi \varepsilon^2) = 4\pi$。
公式：$\iint_{S_\varepsilon} \frac{x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy}{\varepsilon^3} = \frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{S_\varepsilon} dS = 4\pi$
提示：注意球面面积 $4\pi \varepsilon^2$ 的计算，以及第二类曲面积分与第一类的转换关系。
步骤 5/5
目标：得出原积分结果
由挖洞法结论，原曲面积分 $I$ 等于小球面外侧的积分值，即 $I = 4\pi$。
公式：$I = 4\pi$
提示：最终结果与小球半径 $\varepsilon$ 无关，体现了奇点处的贡献。
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