西南交通大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[n a_{n}\right]}{n}=a$ ，其中［ ⋅ ］表示取整．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知数列极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$，要证明 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{[n a_n]}{n} = a$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = a
提示：注意取整符号的含义，它是向下取整。
步骤 2/5
目标：利用取整不等式
对于任意实数 $x$，取整函数满足 $x - 1 < [x] \le x$。令 $x = n a_n$，得到 $n a_n - 1 < [n a_n] \le n a_n$。
公式：n a_n - 1 < [n a_n] \le n a_n
提示：不等式左边是严格小于，右边是小于等于，注意符号细节。
步骤 3/5
目标：两边同时除以正数 n
由于 $n > 0$，不等式方向不变，得到 $a_n - \frac{1}{n} < \frac{[n a_n]}{n} \le a_n$。
公式：a_n - \frac{1}{n} < \frac{[n a_n]}{n} \le a_n
提示：除以 n 时确保 n 为正整数，不等式方向不变。
步骤 4/5
目标：应用夹逼准则
已知 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，因此 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(a_n - \frac{1}{n}\right) = a$。由夹逼准则，介于 $a_n - \frac{1}{n}$ 和 $a_n$ 之间的 $\frac{[n a_n]}{n}$ 也收敛于 $a$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{[n a_n]}{n} = a
提示：夹逼准则要求左右两边极限相等，这里左右极限都是 a。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{[n a_n]}{n} = a$ 成立，证明完毕。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{[n a_n]}{n} = a
提示：结论与已知极限 a 相同，说明取整操作不影响极限值。
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