📝 西南交通大学 2024年数学分析真题

1．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[n a_{n}\right]}{n}=a$ ，其中［ ⋅ ］表示取整．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle f(a+0), f(b-0)$ 存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，判断 $\displaystyle f,|f|, f^{2}$ 之间的可积性关系．

6．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}$ 的玫散性．

7．证明 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，并求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续，当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，$\displaystyle f(x) \rightarrow+\infty$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．

9．设 $\displaystyle u=f(x, y)$ ，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ，证明：

$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}
$$

10．求 $\displaystyle y=m x^{2}, y=n x^{2}(0<m<m), y=\alpha x, y=\beta x(0<\alpha<\beta)$ 所围区域的面积．

11．设 $\displaystyle \Omega$ 是单连通区域，$L$ 为其边界，在 $\displaystyle \Omega$ 内部或外部取一定点，设其为原点， $\displaystyle \mathbf{r}$ 为 $L$ 上的点到原点的向量， $\displaystyle \mathbf{n}$ 为该点的单位切向量，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (\mathbf{n}, \mathbf{r})}{|\mathbf{r}|} \mathrm{d} s$ ．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得对任意的 $\displaystyle \delta>0$ ，满足 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \cap[a, b]$上无界。