西南交通大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析目标等式，构造辅助函数
要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0$，考虑构造辅助函数 $g(x) = e^{\lambda x} f(x)$。计算其导数：$g'(x) = \lambda e^{\lambda x} f(x) + e^{\lambda x} f'(x) = e^{\lambda x} (f'(x) + \lambda f(x))$。由于 $e^{\lambda x} > 0$，因此 $g'(x) = 0$ 当且仅当 $f'(x) + \lambda f(x) = 0$。所以原问题转化为证明存在 $\xi$ 使得 $g'(\xi) = 0$。
公式：g(x) = e^{\lambda x} f(x), \quad g'(x) = e^{\lambda x} (f'(x) + \lambda f(x))
提示：注意 $e^{\lambda x}$ 恒正，因此零点等价性成立。
步骤 2/5
目标：检查罗尔定理的条件
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则 $g(x)$ 也在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导。罗尔定理要求 $g(a) = g(b)$。计算：$g(a) = e^{\lambda a} f(a)$，$g(b) = e^{\lambda b} f(b)$。题目未给出 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的关系，一般情况下 $g(a) \neq g(b)$，因此直接应用罗尔定理不成立，需要补充条件。
公式：g(a) = e^{\lambda a} f(a), \quad g(b) = e^{\lambda b} f(b)
提示：注意罗尔定理的三个条件：闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等。
步骤 3/5
目标：补充条件并重新构造
常见标准题型中，补充条件 $f(a) = f(b) = 0$。此时 $g(a) = e^{\lambda a} \cdot 0 = 0$，$g(b) = e^{\lambda b} \cdot 0 = 0$，满足 $g(a) = g(b)$。于是可应用罗尔定理。
公式：f(a) = f(b) = 0 \Rightarrow g(a) = g(b) = 0
提示：若题目未给出此条件，则结论不一定成立，需根据实际题目判断。
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理得出结论
由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $g'(\xi) = 0$。代入 $g'(x)$ 表达式得 $e^{\lambda \xi} (f'(\xi) + \lambda f(\xi)) = 0$。由于 $e^{\lambda \xi} > 0$，故 $f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0$。证毕。
公式：\exists \xi \in (a,b), \; g'(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)+\lambda f(\xi)=0
提示：注意 $e^{\lambda \xi}$ 恒正，可直接约去。
步骤 5/5
目标：总结证明思路
本题的核心是构造辅助函数 $g(x)=e^{\lambda x}f(x)$，利用罗尔定理将目标等式转化为 $g'(\xi)=0$。关键在于验证 $g(a)=g(b)$，这通常需要补充条件 $f(a)=f(b)=0$。若题目未给出该条件，则需根据具体情境调整。
公式：g(x)=e^{\lambda x}f(x), \quad \text{罗尔定理}
提示：辅助函数法在微分中值定理中非常常见，注意构造形式与目标等式的匹配。
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