西南交通大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，判断 $\displaystyle f,|f|, f^{2}$ 之间的可积性关系．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回忆有界函数可积的充要条件
对于有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是：$f$ 的不连续点集是零测集（勒贝格测度为 $0$）。即 $f$ 可积当且仅当 $f$ 几乎处处连续。
公式：$f \in R[a,b] \iff m(\{x \in [a,b] : f \text{ 在 } x \text{ 处不连续}\}) = 0$
提示：注意有界性是前提，无界函数不可积，但这里已假设有界。
步骤 2/6
目标：分析 f 可积时，|f| 与 f² 的可积性
若 $f$ 可积，则 $f$ 的不连续点集测度为 $0$。由于 $|\cdot|$ 和 $(\cdot)^2$ 都是连续函数，复合连续函数不会产生新的不连续点，因此 $|f|$ 和 $f^2$ 的不连续点集仍是 $f$ 的不连续点集的子集，测度也为 $0$，故 $|f|$ 和 $f^2$ 均可积。
公式：$f \in R[a,b] \Rightarrow |f| \in R[a,b],\ f^2 \in R[a,b]$
提示：这里利用了连续函数与可积函数复合仍可积的性质，但需注意复合函数的有界性自动保持。
步骤 3/6
目标：构造反例说明 |f| 可积不能推出 f 可积
在 $[0,1]$ 上定义 $f(x) = 1$ 当 $x$ 为有理数，$f(x) = -1$ 当 $x$ 为无理数。则 $|f(x)| \equiv 1$ 是常值函数，显然可积。但 $f$ 在 $[0,1]$ 上处处不连续，不连续点集测度为 $1$，故 $f$ 不可积。
公式：反例：$f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ -1, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}$
提示：狄利克雷型函数是经典反例，注意绝对值函数会抹去符号差异，从而掩盖不连续性。
步骤 4/6
目标：构造反例说明 f² 可积不能推出 f 可积
使用与上一步相同的函数：$f(x) = 1$（有理数），$f(x) = -1$（无理数）。则 $f^2(x) \equiv 1$ 可积，但 $f$ 不可积。这说明平方运算同样会消除符号变化带来的不连续性。
公式：反例同上，$f^2(x) \equiv 1$
提示：平方运算将 $-1$ 和 $1$ 都映射为 $1$，因此 $f^2$ 成为常值函数，可积性增强。
步骤 5/6
目标：证明 |f| 与 f² 的可积性等价
由于 $f$ 有界，设 $|f(x)| \leq M$。考虑连续函数 $\varphi(t) = t^2$ 在 $[0,M]$ 上严格单调，且其反函数 $\psi(t) = \sqrt{t}$ 在 $[0,M^2]$ 上连续。因此 $|f| = \sqrt{f^2}$ 是连续函数与 $f^2$ 的复合，$f^2 = (|f|)^2$ 是连续函数与 $|f|$ 的复合。由复合函数可积性定理，$|f|$ 可积当且仅当 $f^2$ 可积。
公式：$|f| = \sqrt{f^2},\ f^2 = (|f|)^2$，且 $\sqrt{\cdot}$ 与 $(\cdot)^2$ 在相应区间上连续
提示：严格单调性保证了反函数连续，从而双向复合均不增加不连续点。
步骤 6/6
目标：总结三者之间的可积性关系
综合以上分析：
1. 若 $f$ 可积，则 $|f|$ 与 $f^2$ 均可积；
2. 反之不成立：存在 $|f|$ 可积（或 $f^2$ 可积）但 $f$ 不可积的例子；
3. $|f|$ 与 $f^2$ 的可积性互相等价。
公式：关系链：$f \text{ 可积} \Rightarrow |f| \Leftrightarrow f^2 \text{ 可积}$，但反向不成立
提示：注意区分单向蕴含与等价关系，反例中 $f$ 的符号变化是关键。
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