西南交通大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确讨论对象和参数范围
我们考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^{p}}$，其中 $p>0$，$x \in \mathbb{R}$。需要分析该级数对于不同 $p$ 和 $x$ 的收敛性（包括绝对收敛和条件收敛）。由于 $|\sin(nx)| \le 1$，分母 $n^p$ 的衰减速度是影响收敛性的关键。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^{p}}
提示：注意 $p$ 是正实数，$x$ 是任意实数，需要分情况讨论。
步骤 2/5
目标：分析绝对收敛性（p>1的情况）
由于 $\left|\frac{\sin(nx)}{n^{p}}\right| \le \frac{1}{n^{p}}$，由 $p$-级数判别法，当 $p>1$ 时，$\sum \frac{1}{n^{p}}$ 收敛，因此原级数对任意 $x$ 绝对收敛。
公式：\left|\frac{\sin(nx)}{n^{p}}\right| \le \frac{1}{n^{p}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \text{ 收敛当 } p>1
提示：这里使用了比较判别法，注意 $p>1$ 是 $p$-级数收敛的充要条件。
步骤 3/5
目标：分析绝对收敛性（0
当 $0
公式：x = k\pi \Rightarrow \sin(nx)=0; \quad x \neq k\pi \Rightarrow \sum \left|\frac{\sin(nx)}{n^{p}}\right| \text{ 发散}
提示：注意 $x=k\pi$ 时级数退化为零级数，是特殊情况。
步骤 4/5
目标：分析条件收敛性（0
当 $0
公式：S_N = \sum_{n=1}^{N} \sin(nx) = \frac{\sin(Nx/2) \sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}, \quad \sin(x/2) \neq 0
提示：Dirichlet 判别法要求部分和有界且系数单调趋于0，这里 $x$ 不能使分母为零，但 $x=2k\pi$ 时正弦恒为零，也收敛。
步骤 5/5
目标：综合结论并整理
综合以上分析，得到完整结论：
- 当 $p>1$ 时，级数对任意实数 $x$ 绝对收敛。
- 当 $0
0$，但作为补充），除非 $x=k\pi$ 使通项恒为零，否则通项不趋于 0，级数发散。
公式：\text{结论：} \begin{cases} p>1: & \text{绝对收敛} \\ 0
提示：注意 $p \le 0$ 时级数通常发散，但题目一般只讨论 $p>0$。
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