西南交通大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．证明 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，并求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数在点 (0,0) 处连续
要证明 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ 在点 $(0,0)$ 处连续，即证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。由均值不等式 $|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}$，可得 $0 \le \sqrt{|xy|} \le \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，右边趋于 $0$，由夹逼定理知极限为 $0$，故函数在原点连续。
公式：$0 \le \sqrt{|xy|} \le \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$
提示：注意使用夹逼定理时，需要确保不等式方向正确，且上下界极限相同。
步骤 2/4
目标：求偏导数 $f_x(0,0)$
由偏导数的定义：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{|h\cdot 0|}-0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0$。
公式：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：计算偏导时，将另一个变量固定为0，注意 $|h\cdot 0|=0$，分子恒为0，极限为0。
步骤 3/4
目标：求偏导数 $f_y(0,0)$
同理，$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{\sqrt{|0\cdot k|}-0}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0}{k} = 0$。
公式：$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$
提示：与 $f_x$ 类似，注意分子恒为0，结果也是0。
步骤 4/4
目标：判断函数在点 (0,0) 的可微性
函数在 $(0,0)$ 可微需满足 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入 $f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0$，只需检验 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\sqrt{|hk|}}{\sqrt{h^2+k^2}}$。取路径 $h=k=t>0$，则 $\frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{2t^2}} = \frac{|t|}{\sqrt{2}|t|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$，故极限不为0，函数不可微。
公式：$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\sqrt{|hk|}}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$（沿路径 $h=k$）
提示：判断可微性时，若沿不同路径极限不同，则不可微。这里选择 $h=k$ 的路径即可说明问题。
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