西南交通大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle f(a+0), f(b-0)$ 存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明目标
已知函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上连续，且单侧极限 $f(a+0) = \lim_{x \to a^+} f(x)$ 和 $f(b-0) = \lim_{x \to b^-} f(x)$ 都存在（有限）。需要证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in (a, b)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in (a, b): |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/6
目标：构造闭区间上的延拓函数
由于 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 存在，我们可以将 $f$ 延拓到闭区间 $[a, b]$ 上，定义函数 $F(x)$ 如下：
$$F(x) = \begin{cases} f(a+0), & x = a, \\ f(x), & x \in (a, b), \\ f(b-0), & x = b. \end{cases}$$
这样 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上每一点都有定义。
公式：$F(x) = \begin{cases} f(a+0), & x = a, \\ f(x), & x \in (a, b), \\ f(b-0), & x = b \end{cases}$
提示：延拓的关键是在端点处用极限值定义函数值，使得函数在端点处连续。
步骤 3/6
目标：证明延拓函数在闭区间上连续
首先，在 $(a, b)$ 内，$F(x) = f(x)$，而 $f$ 在 $(a, b)$ 上连续，所以 $F$ 在 $(a, b)$ 内连续。其次，在左端点 $x = a$ 处，由定义 $F(a) = f(a+0)$，且 $\lim_{x \to a^+} F(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a+0) = F(a)$，故 $F$ 在 $x = a$ 处右连续；类似地，在右端点 $x = b$ 处，$\lim_{x \to b^-} F(x) = f(b-0) = F(b)$，故 $F$ 在 $x = b$ 处左连续。因此 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。
公式：$\lim_{x \to a^+} F(x) = F(a), \quad \lim_{x \to b^-} F(x) = F(b)$
提示：端点处的连续性依赖于单侧极限的存在性，这是题目条件的关键作用。
步骤 4/6
目标：应用Cantor定理（闭区间上连续函数一致连续）
由于 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，根据Cantor定理，$F(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。即对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, b]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|F(x_1) - F(x_2)| < \varepsilon$。
公式：Cantor定理：闭区间上的连续函数必一致连续
提示：Cantor定理是分析学中的核心定理，注意它只适用于闭区间，这正是我们构造闭区间延拓的原因。
步骤 5/6
目标：将结论限制回原开区间
现在取任意 $x_1, x_2 \in (a, b)$，且满足 $|x_1 - x_2| < \delta$。由于 $(a, b) \subset [a, b]$，所以 $x_1, x_2$ 也属于 $F$ 的定义域，并且在这些点上 $F(x) = f(x)$。于是由 $F$ 的一致连续性，有 $|f(x_1) - f(x_2)| = |F(x_1) - F(x_2)| < \varepsilon$。这就说明对原函数 $f$ 而言，同样的 $\delta$ 满足一致连续的条件。
公式：$|f(x_1) - f(x_2)| = |F(x_1) - F(x_2)| < \varepsilon$
提示：注意：这里 $\delta$ 是由 $F$ 在闭区间上的一致连续性得到的，它不依赖于 $x_1, x_2$ 在开区间内的具体位置，因此对 $f$ 也适用。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。证毕。
公式：无
提示：本题的关键技巧是通过端点极限存在将开区间函数延拓为闭区间连续函数，从而利用闭区间上一致连续的性质。
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