西南交通大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle u=f(x, y)$ ，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ，证明：
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\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}
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