西南交通大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续，当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，$\displaystyle f(x) \rightarrow+\infty$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件和目标，明确要证明的结论
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续，当 $x \to 0^+$ 时 $f(x) \to +\infty$，且反常积分 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 收敛。要证明 $\lim_{x \to 0^+} x f(x) = 0$。直观上，若 $x f(x)$ 不趋于 0，则 $f(x)$ 至少像 $\frac{c}{x}$ 一样大，而 $\frac{1}{x}$ 在 0 附近积分发散，与积分收敛矛盾。
公式：\lim_{x \to 0^+} x f(x) = 0
提示：注意反常积分收敛意味着函数在 0 附近不能增长太快，这是证明的关键直觉。
步骤 2/5
目标：用反证法假设结论不成立
假设 $\lim_{x \to 0^+} x f(x) \neq 0$，即存在 $\varepsilon > 0$ 和一个趋于 0 的序列 $x_n \to 0^+$，使得 $x_n f(x_n) \ge \varepsilon$，从而 $f(x_n) \ge \frac{\varepsilon}{x_n}$。
公式：x_n f(x_n) \ge \varepsilon \quad \Rightarrow \quad f(x_n) \ge \frac{\varepsilon}{x_n}
提示：反证法假设时，注意 $\limsup$ 为正即可，不必要求所有点都满足。
步骤 3/5
目标：利用连续性得到区间上的下界
由于 $f$ 连续，对每个 $n$，存在 $\delta_n > 0$，使得当 $x \in [x_n - \delta_n, x_n + \delta_n] \subset (0,1)$ 时，有 $f(x) \ge \frac{\varepsilon}{2x_n}$。这里取 $\delta_n = \frac{x_n}{2}$，则区间为 $[\frac{x_n}{2}, \frac{3x_n}{2}]$。
公式：f(x) \ge \frac{\varepsilon}{2x_n}, \quad x \in \left[\frac{x_n}{2}, \frac{3x_n}{2}\right]
提示：利用连续性时，确保区间不超出定义域，且 $\delta_n$ 的选取要便于后续积分估计。
步骤 4/5
目标：估计积分下界并选择子序列避免区间重叠
在区间 $[\frac{x_n}{2}, \frac{3x_n}{2}]$ 上，积分下界为 $\int_{x_n/2}^{3x_n/2} f(x) \, dx \ge \frac{\varepsilon}{2x_n} \cdot x_n = \frac{\varepsilon}{2}$。为使这些区间互不相交，选取子序列满足 $x_{n+1} < \frac{x_n}{2}$，则区间 $[\frac{x_n}{2}, \frac{3x_n}{2}]$ 两两不交。
公式：\int_{x_n/2}^{3x_n/2} f(x) \, dx \ge \frac{\varepsilon}{2}
提示：区间不重叠是保证积分和发散的关键，可通过选取快速递减的子序列实现。
步骤 5/5
目标：推出矛盾，完成证明
由于这些区间互不相交且包含于 $(0,1)$，积分 $\int_0^1 f(x) \, dx \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2} = +\infty$，这与 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 收敛矛盾。因此假设错误，必有 $\lim_{x \to 0^+} x f(x) = 0$。
公式：\int_0^1 f(x) \, dx \ge \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2} = +\infty
提示：矛盾点在于积分发散与收敛条件冲突，注意无穷级数发散是直接原因。
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