西南交通大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1．（10 分）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的内容
我们要证明数列 $\{ \sin n \}_{n=1}^\infty$ 没有极限。即不存在实数 $L$，使得当 $n$ 充分大时，$\sin n$ 无限接近 $L$。
提示：注意 $n$ 是自然数，考虑的是数列极限，而非函数极限。
步骤 2/5
目标：利用极限存在的必要条件
如果数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，则它的任意子列都必须收敛到同一个极限 $L$。因此，只需找到两个子列分别收敛到不同的值，即可证明原数列极限不存在。
公式：若 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$，则对任意子列 $\{a_{n_k}\}$，有 $\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = L$。
提示：这是反证法的常用思路：假设极限存在，导出矛盾。
步骤 3/5
目标：构造两个子列
由于 $\pi$ 是无理数，集合 $\{ n \mod 2\pi : n \in \mathbb{N} \}$ 在 $[0, 2\pi)$ 中稠密。因此，存在子列 $\{n_k\}$ 使得 $n_k \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ 的近似程度任意好，从而 $\sin n_k \to 1$；同时存在子列 $\{m_k\}$ 使得 $m_k \equiv \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}$，从而 $\sin m_k \to -1$。
公式：$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 1$，$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) = -1$
提示：稠密性保证了我们可以找到整数近似任意给定的模 $2\pi$ 的值。
步骤 4/5
目标：严格论证存在这样的子列
由 Kronecker 逼近定理，对任意 $\varepsilon > 0$，存在整数 $n$ 和整数 $k$ 使得 $|n - (\frac{\pi}{2} + 2k\pi)| < \varepsilon$。取 $\varepsilon = 1, 1/2, 1/3, \dots$，得到一列 $n_k$ 满足 $n_k \to \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$，从而 $\sin n_k \to 1$。同理，存在 $m_k$ 使得 $m_k \to \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}$，$\sin m_k \to -1$。
公式：Kronecker 逼近定理：若 $\alpha$ 是无理数，则 $\{ n\alpha \mod 1 : n \in \mathbb{N} \}$ 在 $[0,1]$ 中稠密。
提示：这里 $\alpha = \frac{1}{2\pi}$ 或直接使用 $\pi$ 的无理性。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于收敛数列的所有子列必须收敛到同一极限，而这里我们找到了分别趋向于 $1$ 和 $-1$ 的两个子列，矛盾。因此原数列不可能收敛，极限不存在。
提示：注意：$\sin n$ 在 $n$ 取整数时不会等于 $\pm 1$，但可以无限接近。
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