西南交通大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续可微，且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用第二个积分收敛性得到极限存在
已知 $\int_{1}^{+\infty} f'(x) \, dx$ 收敛，由定义知极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} f'(x) \, dx$ 存在且有限。根据微积分基本定理，$\int_{1}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(1)$，因此极限 $\lim_{b \to +\infty} (f(b) - f(1))$ 存在，从而 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，记该极限为 $L$。
公式：\int_{1}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(1)
提示：注意这里需要 $f$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续可微，才能保证微积分基本定理在任意有限区间上成立。
步骤 2/5
目标：反证法假设极限非零
假设 $L \neq 0$，不妨先设 $L > 0$（$L < 0$ 的情况类似可证）。则存在 $\varepsilon = \frac{L}{2} > 0$，以及充分大的 $X > 1$，使得当 $x > X$ 时，有 $f(x) > \frac{L}{2} > 0$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists X > 1, \forall x > X: |f(x) - L| < \varepsilon \Rightarrow f(x) > L - \varepsilon = \frac{L}{2}
提示：此处利用极限定义，注意取 $\varepsilon = L/2$ 是为了得到一个严格正的下界。
步骤 3/5
目标：利用第一个积分收敛性导出矛盾
由 $f(x) > \frac{L}{2}$ 对 $x > X$ 成立，考虑积分 $\int_{X}^{+\infty} f(x) \, dx$。由于被积函数恒大于正常数 $\frac{L}{2}$，有 $\int_{X}^{+\infty} f(x) \, dx \geq \int_{X}^{+\infty} \frac{L}{2} \, dx = +\infty$，即该积分发散。但已知 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则其从 $X$ 到 $+\infty$ 的部分也必须收敛，矛盾。
公式：\int_{X}^{+\infty} f(x) \, dx \geq \int_{X}^{+\infty} \frac{L}{2} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \frac{L}{2}(b - X) = +\infty
提示：这里使用了比较判别法：若 $f(x) \geq c > 0$ 最终成立，则积分必发散。
步骤 4/5
目标：处理极限为负的情况
若 $L < 0$，则令 $g(x) = -f(x)$，则 $g$ 同样满足条件（$\int g$ 和 $\int g'$ 均收敛），且 $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -L > 0$。由上述论证得 $\lim g(x) = 0$，从而 $L = 0$。或者直接类似地，当 $L < 0$ 时存在 $X$ 使得 $f(x) < \frac{L}{2} < 0$，则 $|f(x)| > |L|/2$，积分同样发散，矛盾。
公式：\text{若 } L < 0, \text{则 } \exists X, \forall x > X: f(x) < \frac{L}{2} < 0 \Rightarrow \int_{X}^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_{X}^{+\infty} \frac{L}{2} \, dx = -\infty
提示：注意负值情况下的不等式方向，积分发散到负无穷同样与收敛矛盾。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上，假设 $L \neq 0$ 导致矛盾，故必有 $L = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。证毕。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
提示：本题的关键是将 $f'$ 积分的收敛性转化为 $f$ 极限的存在性，再结合 $f$ 积分的收敛性推出极限为零。
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