西南交通大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right)-6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)}{x^{4}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开 ln(1+sin²x) 到 x⁴ 阶
首先展开 sin x = x - x³/6 + O(x⁵)，则 sin²x = x² - x⁴/3 + O(x⁶)。令 u = sin²x，利用 ln(1+u) = u - u²/2 + O(u³)，代入得 ln(1+sin²x) = (x² - x⁴/3) - (1/2)x⁴ + O(x⁶) = x² - (5/6)x⁴ + O(x⁶)。
公式：\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \quad \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + O(u^3)
提示：注意 sin²x 展开时需平方到 x⁴ 项，ln 展开时 u² 只需取到 x⁴ 项。
步骤 2/4
目标：展开 ³√(2-cosx) - 1 到 x⁴ 阶
展开 cos x = 1 - x²/2 + x⁴/24 + O(x⁶)，则 2 - cos x = 1 + x²/2 - x⁴/24 + O(x⁶)。令 t = x²/2 - x⁴/24 + O(x⁶)，利用 (1+t)^{1/3} = 1 + t/3 - t²/9 + O(t³)，代入得 ³√(2-cosx) = 1 + (1/3)(x²/2 - x⁴/24) - (1/9)(x⁴/4) + O(x⁶) = 1 + x²/6 - x⁴/24 + O(x⁶)，因此 ³√(2-cosx) - 1 = x²/6 - x⁴/24 + O(x⁶)。
公式：\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6), \quad (1+t)^{1/3} = 1 + \frac{t}{3} - \frac{t^2}{9} + O(t^3)
提示：展开 (1+t)^{1/3} 时 t² 项系数为 -1/9，注意 t 的表达式要精确到 x⁴。
步骤 3/4
目标：组合分子并化简
分子 = ln(1+sin²x) - 6(³√(2-cosx)-1) = [x² - (5/6)x⁴] - 6[x²/6 - x⁴/24] + O(x⁶) = (x² - x²) + [-(5/6)x⁴ + (6/24)x⁴] + O(x⁶) = 0 + [-(5/6) + 1/4]x⁴ + O(x⁶) = -(7/12)x⁴ + O(x⁶)。
公式：\text{分子} = -\frac{7}{12}x^4 + O(x^6)
提示：注意 x² 项抵消，仅保留 x⁴ 项；计算系数时通分：-5/6 = -10/12，1/4 = 3/12，和为 -7/12。
步骤 4/4
目标：求极限并写出答案
原极限 = lim_{x→0} [-(7/12)x⁴ + O(x⁶)] / x⁴ = -7/12 + lim_{x→0} O(x²) = -7/12。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{7}{12}x^4 + O(x^6)}{x^4} = -\frac{7}{12}
提示：高阶无穷小 O(x⁶)/x⁴ = O(x²) → 0，因此极限即为 x⁴ 系数。
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