西南交通大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7．（10分）证明：有限闭区间上的单调函数必定可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确证明对象和前提
设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上单调递增（若单调递减，可考虑 \( -f(x) \) 或类似处理）。需要证明 \( f \) 在 \([a,b]\) 上黎曼可积。
提示：注意单调性分为递增和递减，证明时只需处理一种情形，另一种可类似推导。
步骤 2/6
目标：构造等分划分
对任意正整数 \( n \)，将区间 \([a,b]\) 等分成 \( n \) 个小区间：
\[ x_0 = a,\ x_1 = a + \frac{b-a}{n},\ \dots,\ x_n = b. \]
每个小区间长度均为 \( \Delta x = \frac{b-a}{n} \)。
公式：\Delta x = \frac{b-a}{n}
提示：等分划分是为了简化计算，实际任意划分只要足够细都可以，但等分便于求和。
步骤 3/6
目标：计算达布下和与达布上和
由于 \( f \) 单调递增，在每个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上：
- 下确界 \( m_i = f(x_{i-1}) \)
- 上确界 \( M_i = f(x_i) \)
于是达布下和与达布上和分别为：
\[ L(f, P_n) = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x,\quad U(f, P_n) = \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x. \]
公式：L = \sum f(x_{i-1})\Delta x,\quad U = \sum f(x_i)\Delta x
提示：注意单调递增时，左端点取最小值，右端点取最大值；单调递减时相反。
步骤 4/6
目标：求上下和之差
上下和之差为：
\[ U(f,P_n) - L(f,P_n) = \sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})] \Delta x. \]
由于 \( \Delta x \) 是常数，可提出：
\[ U - L = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})]. \]
右边求和为 telescoping sum（裂项相消）：
\[ \sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})] = f(b) - f(a). \]
因此：
\[ U(f,P_n) - L(f,P_n) = \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}. \]
公式：U - L = \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}
提示：裂项相消时注意中间项全部抵消，只剩首尾函数值之差。
步骤 5/6
目标：应用达布准则证明可积
当 \( n \to \infty \) 时，\( \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n} \to 0 \)。即对任意 \( \varepsilon > 0 \)，只要取 \( n > \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{\varepsilon} \)，就有 \( U(f,P_n) - L(f,P_n) < \varepsilon \)。根据黎曼可积的达布准则（当上下和之差可以任意小时函数可积），可知 \( f \) 在 \([a,b]\) 上可积。
公式：\forall \varepsilon>0,\ \exists n: U-L < \varepsilon
提示：达布准则的关键是上下和之差可以任意小，这里通过取足够大的 \( n \) 实现。
步骤 6/6
目标：补充单调递减情形
若 \( f \) 单调递减，则每个小区间上最大值在左端点、最小值在右端点，类似推导可得 \( U-L = \frac{(b-a)(f(a)-f(b))}{n} = \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n} \)，同样趋于0，故可积。
公式：U-L = \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}
提示：递减情形只需注意上下确界位置互换，但差值的绝对值相同。
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