西南交通大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8．（10 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将系数拆分，化为两个级数之和
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$。注意到 $n^2+1$ 可以拆开，得到：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n} n!} x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n!} x^{n}.
$$
公式：$$\frac{n^2+1}{2^n n!} = \frac{n^2}{2^n n!} + \frac{1}{2^n n!}$$
提示：拆分系数是处理复杂系数的常用技巧，注意 $n=0$ 时第一项为0，不影响求和。
步骤 2/6
目标：求第二个级数的和函数
第二个级数为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n!} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^n}{n!}$。由指数函数的泰勒展开 $e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$，令 $t = x/2$，得：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n!} x^{n} = e^{x/2}.
$$
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^n}{n!} = e^{x/2}$$
提示：注意指数级数的形式，$x/2$ 整体作为变量。
步骤 3/6
目标：处理第一个级数，利用指数函数的求导技巧
第一个级数为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n} n!} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n^{2} \frac{(x/2)^n}{n!}$。设 $t = x/2$，考虑 $f(t)=e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$。
先求 $t f'(t) = t e^t = \sum_{n=0}^{\infty} n \frac{t^n}{n!}$，再求 $t \frac{d}{dt}(t f'(t)) = t(e^t + t e^t) = t e^t + t^2 e^t$。
另一方面，直接展开：
$$
t \frac{d}{dt}\left( \sum_{n=0}^{\infty} n \frac{t^n}{n!} \right) = t \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \frac{t^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \frac{t^n}{n!}.
$$
因此得到恒等式：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \frac{t^n}{n!} = (t + t^2) e^t.
$$
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \frac{t^n}{n!} = (t + t^2) e^t$$
提示：注意 $n=0$ 项为0，求和可以从 $n=1$ 开始；求导时要小心指数与系数的对应关系。
步骤 4/6
目标：代入 $t = x/2$ 得到第一个级数的和函数
将 $t = x/2$ 代入上述恒等式，得：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \frac{(x/2)^n}{n!} = \left( \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right) e^{x/2}.
$$
由于 $n=0$ 时项为0，所以第一个级数等于上式：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n} n!} x^{n} = \left( \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right) e^{x/2}.
$$
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n} n!} x^{n} = \left( \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right) e^{x/2}$$
提示：代入时注意 $t^2 = x^2/4$，不要漏掉系数。
步骤 5/6
目标：合并两部分，得到最终和函数
将两个级数的结果相加：
$$
S(x) = \left( \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right) e^{x/2} + e^{x/2} = e^{x/2} \left( 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} \right).
$$
整理为更整齐的形式：
$$
S(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{4} e^{x/2}.
$$
公式：$$S(x) = e^{x/2}\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}\right) = \frac{x^2+2x+4}{4}e^{x/2}$$
提示：合并时注意提取公因子 $e^{x/2}$，并通分整理。
步骤 6/6
目标：确定收敛域
原级数由指数函数 $e^{x/2}$ 的级数变形得到，指数级数对一切实数 $x$ 绝对收敛，因此和函数 $S(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$（即 $(-\infty, +\infty)$）。
公式：$$\text{收敛域：} (-\infty, +\infty)$$
提示：幂级数收敛半径可通过比值法验证，这里 $a_n = (n^2+1)/(2^n n!)$，$\lim_{n\to\infty} |a_{n+1}/a_n| = 0$，故收敛半径为 $+\infty$。
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