西南交通大学 2025年数学分析第9题

设 \( K \subset \mathbb{R}^n \) 是紧集，\( f: K \to \mathbb{R}^n \) 是连续映射。我们要证明 \( f \) 在 \( K \) 上一致连续，即：对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对任意 \( x, y \in K \)，只要 \( \|x - y\| < \delta \)，就有 \( \|f(x) - f(y)\| < \varepsilon \)。

假设 \( f \) 在 \( K \) 上不一致连续，则存在某个 \( \varepsilon_0 > 0 \)，使得对任意 \( \delta > 0 \)，都能找到两点 \( x, y \in K \)，满足 \( \|x - y\| < \delta \) 但 \( \|f(x) - f(y)\| \ge \varepsilon_0 \)。

特别地，取 \( \delta = 1/k \)（\( k = 1, 2, 3, \dots \)），则存在序列 \( \{x_k\}, \{y_k\} \subset K \)，使得 \( \|x_k - y_k\| < \frac{1}{k} \)，且 \( \|f(x_k) - f(y_k)\| \ge \varepsilon_0 \)。

由于 \( K \) 是紧集，序列 \( \{x_k\} \) 必有收敛子列。设子列 \( \{x_{k_j}\} \) 收敛到某点 \( x_0 \in K \)。同时，因为 \( \|y_{k_j} - x_0\| \le \|y_{k_j} - x_{k_j}\| + \|x_{k_j} - x_0\| < \frac{1}{k_j} + \|x_{k_j} - x_0\| \)，当 \( j \to \infty \) 时，右边趋于 0，所以 \( y_{k_j} \to x_0 \) 也成立。

因为 \( f \) 在 \( x_0 \) 处连续，所以当 \( j \to \infty \) 时，\( f(x_{k_j}) \to f(x_0) \)，\( f(y_{k_j}) \to f(x_0) \)。于是 \( \|f(x_{k_j}) - f(y_{k_j})\| \to 0 \)。但根据构造，对所有的 \( j \) 都有 \( \|f(x_{k_j}) - f(y_{k_j})\| \ge \varepsilon_0 > 0 \)，这就产生了矛盾。

因此假设不成立，\( f \) 在 \( K \) 上一致连续。证毕。