西南交通大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10．（15分）设 $\displaystyle u(x, y)$ 所有二阶偏导数都连续，且
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0, u(x, 2 x)=x, u_{x}(x, 2 x)=x^{2}
$$
求 $\displaystyle u_{x x}(x, 2 x), \overparen{u}_{x y}(x, 2 x), u_{y y}(x, 2 x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解已知条件并引入符号
已知函数 $u(x,y)$ 满足波动方程 $u_{xx} - u_{yy} = 0$，且沿直线 $y=2x$ 有 $u(x,2x)=x$ 和 $u_x(x,2x)=x^2$。所有二阶偏导数连续。需要求 $u_{xx}(x,2x)$、$u_{xy}(x,2x)$、$u_{yy}(x,2x)$。
公式：$u_{xx} - u_{yy} = 0$
提示：注意波动方程的形式，以及沿直线条件是对 $x$ 的全导数关系。
步骤 2/7
目标：对第一个条件 $u(x,2x)=x$ 求全导数，得到 $u_y$ 沿直线的值
对 $u(x,2x)=x$ 两边关于 $x$ 求全导数：
$$\frac{d}{dx}u(x,2x) = u_x(x,2x) + u_y(x,2x)\cdot 2 = 1$$
代入 $u_x(x,2x)=x^2$ 得：
$$x^2 + 2u_y(x,2x) = 1$$
解得：
$$u_y(x,2x) = \frac{1-x^2}{2}$$
公式：$\frac{d}{dx}u(x,2x) = u_x + 2u_y$
提示：全导数时不要遗漏 $y$ 对 $x$ 的导数因子 $2$。
步骤 3/7
目标：对第二个条件 $u_x(x,2x)=x^2$ 求全导数，得到第一个二阶偏导关系
对 $u_x(x,2x)=x^2$ 两边关于 $x$ 求全导数：
$$\frac{d}{dx}u_x(x,2x) = u_{xx}(x,2x) + u_{xy}(x,2x)\cdot 2 = 2x$$
记作：
$$u_{xx} + 2u_{xy} = 2x \quad (1)$$
公式：$\frac{d}{dx}u_x = u_{xx} + 2u_{xy}$
提示：注意 $u_x$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，全导数时 $y$ 对 $x$ 的导数为 $2$。
步骤 4/7
目标：对已求出的 $u_y$ 条件求全导数，得到第二个二阶偏导关系
对 $u_y(x,2x)=\frac{1-x^2}{2}$ 两边关于 $x$ 求全导数：
$$\frac{d}{dx}u_y(x,2x) = u_{yx}(x,2x) + u_{yy}(x,2x)\cdot 2 = -x$$
由二阶偏导连续，$u_{yx}=u_{xy}$，得：
$$u_{xy} + 2u_{yy} = -x \quad (2)$$
公式：$\frac{d}{dx}u_y = u_{xy} + 2u_{yy}$
提示：混合偏导相等是连续性的重要推论，此处可直接使用。
步骤 5/7
目标：利用波动方程得到第三个关系
由波动方程 $u_{xx} - u_{yy} = 0$ 得：
$$u_{xx} = u_{yy} \quad (3)$$
公式：$u_{xx} = u_{yy}$
提示：这是方程的直接结果，注意符号。
步骤 6/7
目标：联立方程求解 $u_{xx}$、$u_{xy}$、$u_{yy}$
将 (3) 代入 (2)：
$$u_{xy} + 2u_{xx} = -x \quad \Rightarrow \quad u_{xy} = -x - 2u_{xx}$$
代入 (1)：
$$u_{xx} + 2(-x - 2u_{xx}) = 2x$$
化简：
$$u_{xx} - 2x - 4u_{xx} = 2x$$
$$-3u_{xx} - 2x = 2x$$
$$-3u_{xx} = 4x$$
解得：
$$u_{xx} = -\frac{4}{3}x$$
由 (3) 得：
$$u_{yy} = -\frac{4}{3}x$$
再代入 $u_{xy}$ 表达式：
$$u_{xy} = -x - 2\left(-\frac{4}{3}x\right) = -x + \frac{8}{3}x = \frac{5}{3}x$$
公式：联立 (1)(2)(3) 求解
提示：注意代数运算的符号，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，沿直线 $y=2x$ 有：
$$u_{xx}(x,2x) = -\frac{4}{3}x,\quad u_{xy}(x,2x) = \frac{5}{3}x,\quad u_{yy}(x,2x) = -\frac{4}{3}x$$
公式：$u_{xx} = -\frac{4}{3}x,\; u_{xy} = \frac{5}{3}x,\; u_{yy} = -\frac{4}{3}x$
提示：最终结果应包含变量 $x$，注意检查是否满足原方程。
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