西南交通大学 2026年数学分析第12题

曲面 \(S\) 由圆柱侧面 \(x^2+y^2=1\)（\(0\le z\le 3\)）、下底面 \(z=0\)（\(x^2+y^2\le 1\)，方向向下）和上底面 \(z=3\)（\(x^2+y^2\le 1\)，方向向上）组成，均取外侧。所给第二类曲面积分 \(\iint_S (x-y)\,dx\,dy + x(y-z)\,dy\,dz\) 对应 \(P=x(y-z)\)，\(Q=0\)，\(R=x-y\)。

高斯公式：\(\iint_{\partial V} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV\)。计算散度：\(\frac{\partial P}{\partial x}=y-z\)，\(\frac{\partial Q}{\partial y}=0\)，\(\frac{\partial R}{\partial z}=0\)，故原积分 \(=\iiint_V (y-z)\,dV\)，其中 \(V\) 为圆柱体 \(x^2+y^2\le 1\)，\(0\le z\le 3\)。

柱坐标变换：\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，\(z=z\)，体积元 \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)，积分区域 \(0\le r\le 1\)，\(0\le \theta\le 2\pi\)，\(0\le z\le 3\)。被积函数 \(y-z = r\sin\theta - z\)，积分 \(I = \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^3 (r\sin\theta - z)\, r\, dz\, dr\, d\theta\)。

对 \(z\) 积分：\(\int_0^3 (r\sin\theta - z)\, dz = r\sin\theta \cdot 3 - \frac{1}{2}(3^2) = 3r\sin\theta - \frac{9}{2}\)。代入得 \(I = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \left(3r\sin\theta - \frac{9}{2}\right) r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \left(3r^2\sin\theta - \frac{9}{2}r\right) dr\, d\theta\)。

对 \(r\) 积分：\(\int_0^1 3r^2\sin\theta\, dr = \left[ r^3 \sin\theta \right]_0^1 = \sin\theta\)，\(\int_0^1 -\frac{9}{2}r\, dr = -\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{4}\)。内层积分结果为 \(\sin\theta - \frac{9}{4}\)。

对 \(\theta\) 积分：\(\int_0^{2\pi} \sin\theta\, d\theta = 0\)，\(\int_0^{2\pi} -\frac{9}{4}\, d\theta = -\frac{9}{4} \cdot 2\pi = -\frac{9\pi}{2}\)。因此 \(I = -\frac{9\pi}{2}\)。