西南交通大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7、设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，说明在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求逐点极限函数
对于固定的 $x \in [0,1]$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x) = \frac{n x}{1 + n^2 x^2}$ 的极限。
- 当 $x = 0$ 时，$f_n(0) = 0$，极限为 $0$。
- 当 $x > 0$ 时，分子分母同除以 $n$ 得 $f_n(x) = \frac{x}{\frac{1}{n} + n x^2}$，分母中 $\frac{1}{n} \to 0$，$n x^2 \to \infty$，故 $f_n(x) \to 0$。
因此，对任意 $x \in [0,1]$，$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$，即逐点极限函数 $f(x) = 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：注意 $x=0$ 需要单独讨论，因为此时不能直接除以 $n$。
步骤 2/4
目标：定义一致收敛的判别量
要判断 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛到 $0$，需计算 $\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in [0,1]} \frac{n x}{1 + n^2 x^2}$，并考察该上确界是否随 $n \to \infty$ 趋于 $0$。
公式：\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \sup_{x \in [0,1]} \frac{n x}{1 + n^2 x^2}
提示：一致收敛要求上确界趋于0，而非逐点趋于0。
步骤 3/4
目标：求函数 $g_n(x) = \frac{n x}{1 + n^2 x^2}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值
固定 $n$，对 $g_n(x)$ 求导：
$$g_n'(x) = \frac{n(1 + n^2 x^2) - n x \cdot 2 n^2 x}{(1 + n^2 x^2)^2} = \frac{n - n^3 x^2}{(1 + n^2 x^2)^2}.$$
令 $g_n'(x) = 0$ 得 $n - n^3 x^2 = 0$，解得 $x = \frac{1}{n}$（$x \ge 0$）。
代入得最大值：
$$g_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{1 + n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}.$$
公式：g_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2}
提示：求导时注意链式法则，且 $x=1/n$ 在区间 $[0,1]$ 内，因为 $n \ge 1$。
步骤 4/4
目标：得出上确界并判断一致收敛性
由于 $g_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$，且该最大值在 $x = \frac{1}{n}$ 处取得，因此
$$\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \frac{1}{2}.$$
当 $n \to \infty$ 时，该上确界恒为 $\frac{1}{2}$，不趋于 $0$，故函数列在 $[0,1]$ 上不一致收敛。
公式：\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \frac{1}{2} \not\to 0
提示：上确界不趋于0是判断不一致收敛的直接依据，注意与逐点收敛的区别。
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