西南交通大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6、证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：初步观察通项并判断逐点收敛性
通项为 $u_n(x)=2^n \sin\frac{1}{3^n x}$。对固定的 $x>0$，当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{3^n x}\to 0$，利用等价无穷小 $\sin t\sim t$，有 $u_n(x)\sim 2^n\cdot\frac{1}{3^n x}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{x}$。由于 $\frac{2}{3}<1$，故对每个 $x>0$，级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 收敛。
公式：$u_n(x)\sim \left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{x}$
提示：注意等价无穷小仅适用于 $n$ 充分大时，但足以说明逐点收敛性。
步骤 2/5
目标：尝试 Weierstrass M-判别法并发现困难
利用 $|\sin t|\le |t|$，得 $|u_n(x)|\le 2^n\cdot\frac{1}{3^n x}=\frac{(2/3)^n}{x}$。该上界依赖于 $x$，当 $x\to 0^+$ 时趋于无穷，无法找到与 $x$ 无关的常数 $M_n$ 使得 $\sum M_n$ 收敛，故 M-判别法不能直接用于整个区间。
公式：$|u_n(x)|\le \frac{(2/3)^n}{x}$
提示：M-判别法失效提示可能不一致收敛，需进一步分析 $x$ 靠近 $0$ 时的行为。
步骤 3/5
目标：分析 x 趋近于 0+ 时的振荡行为
当 $x\to 0^+$ 时，对固定 $n$，$\frac{1}{3^n x}\to +\infty$，$\sin\frac{1}{3^n x}$ 在 $[-1,1]$ 间振荡，因此 $|u_n(x)|$ 可达 $2^n$，随 $n$ 增大而迅速增大。这表明在 $0$ 附近级数的部分和可能无法被一致控制，暗示不一致收敛。
公式：$|u_n(x)|_{\max}=2^n$
提示：振荡性使得无法通过简单的放缩得到一致上界。
步骤 4/5
目标：用 Cauchy 准则的否定形式证明不一致收敛
一致收敛的 Cauchy 准则：$\forall\varepsilon>0,\exists N,\forall m>n\ge N,\forall x>0$，有 $\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right|<\varepsilon$。取 $m=n+1$，考虑相邻两项之和。令 $x_n=\frac{1}{3^n\cdot\frac{\pi}{2}}$，则 $\frac{1}{3^n x_n}=\frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{1}{3^n x_n}=1$；$\frac{1}{3^{n+1}x_n}=\frac{\pi}{6}$，$\sin\frac{1}{3^{n+1}x_n}=\frac12$。于是 $|u_n(x_n)+u_{n+1}(x_n)|=2^n\cdot1+2^{n+1}\cdot\frac12=2^n+2^n=2^{n+1}$。当 $n\to\infty$ 时，$2^{n+1}\to+\infty$，故对任意 $\varepsilon>0$，无法找到统一的 $N$ 使条件成立，因此级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\left|2^n\sin\frac{1}{3^n x_n}+2^{n+1}\sin\frac{1}{3^{n+1}x_n}\right|=2^{n+1}$
提示：关键是通过选取特殊的 $x_n$ 使得两项同号且都取较大值，从而破坏 Cauchy 条件。
步骤 5/5
目标：得出结论
该函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty 2^n\sin\frac{1}{3^n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上逐点收敛，但并非一致收敛。
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛：前者对每个 $x$ 成立，后者要求收敛速度与 $x$ 无关。
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