西南交通大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5、讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{n}} d x$ 敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区间与奇点
积分区间为 $[0, +\infty)$，在 $x=0$ 处被积函数可能发散，在 $x \to +\infty$ 处也可能发散。因此将积分拆分为 $\int_0^{+\infty} = \int_0^1 + \int_1^{+\infty}$，分别讨论 $x \to 0^+$ 和 $x \to +\infty$ 时的敛散性。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^n} \, dx = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x^n} \, dx + \int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^n} \, dx
提示：注意 $x=0$ 和 $x=+\infty$ 是两个可能的瑕点或无穷限，需要分别处理。
步骤 2/5
目标：讨论 $x \to 0^+$ 时的敛散性
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{x^n} \sim \frac{x}{x^n} = \frac{1}{x^{n-1}}$。积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^{p}} \, dx$ 在 $p<1$ 时收敛，在 $p \ge 1$ 时发散。这里 $p = n-1$，所以 $x=0$ 附近收敛的条件是 $n-1 < 1$，即 $n < 2$。
公式：\frac{\ln(1+x)}{x^n} \sim \frac{1}{x^{n-1}} \quad (x \to 0^+)
提示：易错：误将 $\ln(1+x)$ 近似为 $x$ 后，忘记指数变化；注意 $n=2$ 时对应 $1/x$，发散。
步骤 3/5
目标：讨论 $x \to +\infty$ 时的敛散性
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+x) \sim \ln x$，被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{x^n} \sim \frac{\ln x}{x^n}$。对于 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^n} \, dx$，当 $n>1$ 时，可取 $1 1$。
公式：\frac{\ln(1+x)}{x^n} \sim \frac{\ln x}{x^n} \quad (x \to +\infty)
提示：常用比较判别法：$\ln x$ 增长慢于任何 $x^\epsilon$，所以 $n>1$ 时收敛。
步骤 4/5
目标：综合两个条件得出收敛范围
在 $x=0$ 附近收敛要求 $n < 2$，在 $x \to +\infty$ 处收敛要求 $n > 1$。两者同时满足时原积分收敛，即 $1 < n < 2$。边界情况：$n=1$ 时，$x=0$ 附近收敛但无穷远处发散；$n=2$ 时，无穷远处收敛但 $x=0$ 附近发散；$n \le 1$ 或 $n \ge 2$ 至少有一端发散。
公式：\text{收敛条件: } 1 < n < 2
提示：注意边界点 $n=1$ 和 $n=2$ 需要单独判断，不能直接包含在开区间内。
步骤 5/5
目标：给出最终结论
积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{n}} \, dx$ 收敛当且仅当 $1 < n < 2$；在其他情况下发散。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^n} \, dx \text{ 收敛 } \iff 1 < n < 2
提示：最终答案需明确写出收敛的 $n$ 范围，并说明边界发散。
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