西南交通大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 连续，$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛．证明：
$$
F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right)
$$
在 $\displaystyle [a, A]$ 一致收敛．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明目标
已知 $f(x,y)$ 在闭矩形 $[a,A]\times[b,B]$ 上连续，函数序列 $\varphi_n(x)$ 在 $[a,A]$ 上一致收敛。要证明复合函数序列 $F_n(x)=f(x,\varphi_n(x))$ 在 $[a,A]$ 上一致收敛。
公式：F_n(x)=f(x,\varphi_n(x))
提示：注意一致收敛的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x$ 有 $|F_n(x)-F(x)|<\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：确定极限函数并保证值域包含在闭矩形内
设 $\varphi_n(x)$ 一致收敛到 $\varphi(x)$。由于一致收敛序列有界，且 $\varphi_n(x)$ 的值最终落在 $[b,B]$ 内（必要时可适当缩小或扩大区间，但题目已给定闭矩形），故可假设对所有 $n$ 和 $x$，$\varphi_n(x)\in[b,B]$，且 $\varphi(x)\in[b,B]$。
公式：\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)=\varphi(x)\quad\text{一致收敛}
提示：一致收敛的极限函数不一定连续，但这里 $f$ 的连续性只依赖于自变量取值在闭矩形内。
步骤 3/6
目标：利用 $f$ 的一致连续性
因为 $f$ 在闭矩形 $[a,A]\times[b,B]$ 上连续，所以一致连续。即：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|y_1-y_2|<\delta$ 时，对任意 $x\in[a,A]$ 都有 $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<\varepsilon$。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in[a,A],\forall y_1,y_2\in[b,B]:|y_1-y_2|<\delta\Rightarrow|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<\varepsilon
提示：一致连续性是关键，它保证了 $f$ 对 $y$ 的变动有整体一致的敏感度。
步骤 4/6
目标：结合 $\varphi_n$ 的一致收敛性
由 $\varphi_n$ 一致收敛到 $\varphi$，对上述 $\delta>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x\in[a,A]$ 有 $|\varphi_n(x)-\varphi(x)|<\delta$。
公式：\forall\delta>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in[a,A]:|\varphi_n(x)-\varphi(x)|<\delta
提示：一致收敛的 $N$ 与 $x$ 无关，这是证明一致收敛的关键。
步骤 5/6
目标：推导 $F_n$ 的一致收敛性
取任意 $\varepsilon>0$，由第二步得 $\delta>0$，再由第三步得 $N$。当 $n>N$ 时，对任意 $x\in[a,A]$，有 $|\varphi_n(x)-\varphi(x)|<\delta$，从而 $|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi(x))|<\varepsilon$。即 $|F_n(x)-f(x,\varphi(x))|<\varepsilon$ 对所有 $x$ 成立。
公式：|F_n(x)-f(x,\varphi(x))|=|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi(x))|<\varepsilon
提示：这里 $F_n$ 的极限函数是 $f(x,\varphi(x))$，注意验证该函数定义良好。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$F_n(x)=f(x,\varphi_n(x))$ 在 $[a,A]$ 上一致收敛到 $f(x,\varphi(x))$。
公式：F_n(x)\rightrightarrows f(x,\varphi(x))\quad\text{在 }[a,A]\text{ 上}
提示：证明中同时用到了 $f$ 的一致连续性和 $\varphi_n$ 的一致收敛性，两者缺一不可。
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