西南财经大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
一、（15分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x \sin x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断极限类型并简化分母
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{1+x\sin x} - \cos x \to 0$，分母 $x\sin x \to 0$，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。利用等价无穷小 $\sin x \sim x$，将分母替换为 $x^2$ 以简化后续计算，但需注意保留足够精度。
公式：$x\sin x \sim x^2 \quad (x \to 0)$
提示：等价无穷小替换时，需确保替换后不丢失高阶项信息，此处仅用于初步判断，后续需用泰勒展开精确计算。
步骤 2/4
目标：对分子中的 $\sqrt{1+x\sin x}$ 进行泰勒展开
先展开 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，则 $x\sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$。令 $u = x\sin x$，利用 $(1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + O(u^3)$，代入 $u$ 并保留到 $x^4$ 项：$\frac{u}{2} = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + O(x^6)$，$u^2 = x^4 + O(x^6)$，故 $-\frac{u^2}{8} = -\frac{x^4}{8} + O(x^6)$。合并得 $\sqrt{1+x\sin x} = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{5}{24}x^4 + O(x^6)$。
公式：$\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + O(u^3)$
提示：展开时注意 $u$ 本身包含 $x^2$ 项，计算 $u^2$ 时只需保留到 $x^4$ 项，避免多余计算。
步骤 3/4
目标：展开 $\cos x$ 并计算分子
利用 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$。分子为 $\sqrt{1+x\sin x} - \cos x = \left(1 + \frac{x^2}{2} - \frac{5}{24}x^4 + \cdots\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots\right)$。常数项抵消，$x^2$ 项：$\frac{x^2}{2} - (-\frac{x^2}{2}) = x^2$，$x^4$ 项：$-\frac{5}{24}x^4 - \frac{x^4}{24} = -\frac{6}{24}x^4 = -\frac{x^4}{4}$。故分子 $= x^2 - \frac{x^4}{4} + O(x^6)$。
公式：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
提示：注意减去 $\cos x$ 时，$\cos x$ 展开中的负号要正确处理，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：展开分母并求极限
分母 $x\sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$。则原式 $= \frac{x^2 - \frac{x^4}{4} + O(x^6)}{x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)}$。分子分母同除以 $x^2$ 得 $\frac{1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)}$。当 $x \to 0$ 时，分子趋于 $1$，分母趋于 $1$，故极限为 $1$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = 1$
提示：最后一步极限计算时，$O(x^4)$ 项在 $x \to 0$ 时趋于 $0$，不影响极限值。
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