📝 西南财经大学 2020年数学分析真题

一、（15分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x \sin x}$ ．

七、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=z^{2}$ ，作变量替换 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$ ，证明：$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}=0$ ．

三、（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}$ 的和．

二、（20 分）已知抛物线 $\displaystyle y=-x^{2}+B x+C$ 与 $x$ 轴在 $\displaystyle a, b (a<b)$ 点相交，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b) =0, f(x)$ 与 $\displaystyle y=-x^{2}+B x+C$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有一个交点，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-2$ 。

五、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$求 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), ~ f_{y}^{\prime}(x, y)$ ，并证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微。

八、（20 分）计算 $\displaystyle \iint_{D} \max \{x, y\} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中

$$
D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0\}
$$

六、（15 分）求 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z-11=0$ 所确定的隐函数的极值．

四、（20 分）判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+2019} \mathrm{~d} x$ 是否收敛？若收敛，判断是条件收敛还是绝对收敛？