西南财经大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）求 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z-11=0$ 所确定的隐函数的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原方程化为标准形式，明确几何意义
对方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z-11=0$ 分别对 $x$、$y$、$z$ 进行配方：
对 $x$：$x^2-2x = (x-1)^2 - 1$；
对 $y$：$y^2+4y = (y+2)^2 - 4$；
对 $z$：$z^2-6z = (z-3)^2 - 9$。
代入原方程得：
$$(x-1)^2 -1 + (y+2)^2 -4 + (z-3)^2 -9 -11 = 0$$
合并常数项：$-1-4-9-11 = -25$，移项得：
$$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25$$
这是一个球心在 $(1, -2, 3)$，半径为 $5$ 的球面。
公式：$$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25$$
提示：配方时注意常数项的合并，不要遗漏。
步骤 2/4
目标：确定隐函数形式并利用几何意义求极值
将 $z$ 视为 $x,y$ 的隐函数 $z=z(x,y)$，则问题转化为在球面上求 $z$ 的最大值和最小值。由球面方程可知，球心 $z$ 坐标为 $3$，半径为 $5$，因此 $z$ 的取值范围为 $[3-5, 3+5] = [-2, 8]$。
所以极大值为 $8$，极小值为 $-2$。
公式：$$z_{\max}=3+5=8,\quad z_{\min}=3-5=-2$$
提示：几何意义直观，但需确认隐函数存在性（$F_z \neq 0$ 处）。
步骤 3/4
目标：用隐函数求导法验证极值条件
设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$，则隐函数 $z=z(x,y)$ 的偏导数为：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$
其中 $F_x=2x-2$，$F_y=2y+4$，$F_z=2z-6$。
极值必要条件：$\frac{\partial z}{\partial x}=0$ 且 $\frac{\partial z}{\partial y}=0$，即
$$2x-2=0 \Rightarrow x=1$$
$$2y+4=0 \Rightarrow y=-2$$
代入原方程得：
$$(1-1)^2+(-2+2)^2+(z-3)^2=25 \Rightarrow (z-3)^2=25$$
解得 $z=8$ 或 $z=-2$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x}=0,\frac{\partial z}{\partial y}=0 \Rightarrow x=1,y=-2$$
提示：注意 $F_z=2z-6$ 在 $z=3$ 处为零，此时隐函数不存在，但极值点 $z=8$ 和 $z=-2$ 处 $F_z \neq 0$，故有效。
步骤 4/4
目标：判断极值类型并给出结论
由几何意义可知，$z=8$ 对应球面的最高点，是极大值；$z=-2$ 对应球面的最低点，是极小值。也可通过二阶导数或 Hessian 矩阵验证，但几何意义已足够。
因此，隐函数 $z=z(x,y)$ 的极大值为 $8$，极小值为 $-2$。
公式：$$z_{\max}=8,\quad z_{\min}=-2$$
提示：注意极值点坐标分别为 $(1,-2,8)$ 和 $(1,-2,-2)$。
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