西南财经大学 2020年数学分析第0题

已知函数 $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}$ 当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，直接求偏导： 对 $x$：$f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^3}{x^2+y^2}\right)=\frac{3x^2(x^2+y^2)-x^3\cdot2x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$。 对 $y$：$f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^3}{x^2+y^2}\right)=x^3\cdot\frac{-2y}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{2x^3y}{(x^2+y^2)^2}$。

由偏导定义： $f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^3}{h^2+0}-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1$。 $f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0$。 因此完整偏导函数为： $f_x'(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2},&(x,y)\neq(0,0),\\1,&(x,y)=(0,0),\end{cases}$ $f_y'(x,y)=\begin{cases}-\dfrac{2x^3y}{(x^2+y^2)^2},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}$

需证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0$。利用绝对值放缩： $|f(x,y)|=\frac{|x|^3}{x^2+y^2}\le\frac{|x|^3}{x^2}=|x|$（因为 $x^2+y^2\ge x^2$）。 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$|x|\to0$，由夹逼定理得极限为0，故连续。

若可微，则 $f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y=o(\sqrt{x^2+y^2})$。代入得： $\frac{x^3}{x^2+y^2}-x=\frac{x^3-x(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=-\frac{xy^2}{x^2+y^2}$。 沿路径 $y=x$ 趋于原点： $-\frac{x\cdot x^2}{x^2+x^2}=-\frac{x^3}{2x^2}=-\frac{x}{2}$，与 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}|x|$ 的比值为 $\frac{-x/2}{\sqrt{2}|x|}$，当 $x\to0$ 时趋于非零常数（如 $x>0$ 时趋于 $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$），故不是高阶无穷小，不可微。