西南财经大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
八、（20 分）计算 $\displaystyle \iint_{D} \max \{x, y\} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0\}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：处理 max 函数，将积分区域按 x≥y 和 x
由于被积函数中含有 $\max\{x,y\}$，我们将第一象限 $D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\,y\ge 0\}$ 分为两个子区域：
- $D_1: x\ge y\ge 0$，此时 $\max\{x,y\}=x$；
- $D_2: y>x\ge 0$，此时 $\max\{x,y\}=y$。
于是原积分可写为：
$$I = \iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy + \iint_{D_2} y e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$$
公式：$I = \iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy + \iint_{D_2} y e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$
提示：注意分割区域时不要遗漏边界，边界上的点可以归入任意一侧，不影响积分值。
步骤 2/6
目标：利用对称性简化积分
观察区域 $D_1$ 和 $D_2$ 关于直线 $y=x$ 对称，且被积函数在交换 $x$ 和 $y$ 后，第二个积分变为第一个积分的形式。因此两个积分相等，即：
$$\iint_{D_2} y e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$$
所以：
$$I = 2 \iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$$
其中 $D_1: 0\le y\le x<\infty$。
公式：$I = 2 \iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$
提示：对称性简化是处理此类问题的常用技巧，注意检查区域和被积函数是否满足对称条件。
步骤 3/6
目标：交换积分次序，先对 x 积分
区域 $D_1: 0\le y\le x<\infty$ 也可描述为先固定 $y$，则 $x$ 从 $y$ 到 $\infty$，$y$ 从 $0$ 到 $\infty$。于是：
$$\iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{\infty} e^{-y^2} \left( \int_{x=y}^{\infty} x e^{-x^2}\,dx \right) dy$$
公式：$\iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \left( \int_{y}^{\infty} x e^{-x^2}\,dx \right) dy$
提示：交换积分次序时，要准确画出积分区域，确定新的积分限。
步骤 4/6
目标：计算内层积分
计算内层积分 $\int_{x=y}^{\infty} x e^{-x^2}\,dx$。令 $u=x^2$，则 $du=2x\,dx$，$x\,dx = \frac{1}{2}du$。当 $x=y$ 时 $u=y^2$，当 $x\to\infty$ 时 $u\to\infty$。于是：
$$\int_{x=y}^{\infty} x e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2} \int_{u=y^2}^{\infty} e^{-u}\,du = \frac{1}{2} e^{-y^2}$$
公式：$\int_{y}^{\infty} x e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2} e^{-y^2}$
提示：注意换元时积分限的变化，以及 $x\,dx$ 与 $du$ 的对应关系。
步骤 5/6
目标：计算外层积分，得到 D1 上的积分值
将内层积分结果代入：
$$\iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \cdot \frac{1}{2} e^{-y^2}\,dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2y^2}\,dy$$
利用高斯积分公式 $\int_{0}^{\infty} e^{-a y^2}\,dy = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$（$a>0$），这里 $a=2$，得：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-2y^2}\,dy = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}$$
因此：
$$\iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}}$$
公式：$\int_{0}^{\infty} e^{-2y^2}\,dy = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}$，$\iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}}$
提示：高斯积分公式是常用结论，注意系数 $\frac{1}{2}$ 来自从 $0$ 到 $\infty$ 的积分。
步骤 6/6
目标：得到原积分结果并化简
由 $I = 2 \iint_{D_1} x e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$，代入得：
$$I = 2 \times \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}$$
有理化分母：
$$\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}$$
因此最终结果为：
$$\boxed{\frac{\sqrt{2\pi}}{4}}$$
公式：$I = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}$
提示：最终结果可以有理化，但保留 $\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}$ 也是正确的，通常习惯化简为最简形式。
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