西南财经大学 2020年数学分析第0题

当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{x} \cos x \sim \sqrt{x}$，分母 $x+2019 \to 2019$，因此被积函数 $\frac{\sqrt{x} \cos x}{x+2019} \sim \frac{\sqrt{x}}{2019}$。由于 $\int_0^1 \sqrt{x} \, dx$ 收敛（幂次 $\frac{1}{2} > -1$），所以积分在 $0$ 附近收敛。

当 $x \to +\infty$ 时，被积函数渐近于 $\frac{\cos x}{\sqrt{x}}$。考虑 $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+2019}$ 和 $g(x) = \cos x$。计算 $f'(x) = \frac{2019 - x}{2\sqrt{x}(x+2019)^2}$，当 $x > 2019$ 时 $f'(x) < 0$，故 $f(x)$ 单调递减趋于 $0$。同时 $\left|\int_a^b \cos x \, dx\right| \le 2$ 有界。由 Dirichlet 判别法，$\int_1^{+\infty} f(x) \cos x \, dx$ 收敛，从而原积分收敛。

考虑 $\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x} |\cos x|}{x+2019} \, dx$。当 $x$ 很大时，$\frac{\sqrt{x}}{x+2019} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，故积分行为类似于 $\int_1^{+\infty} \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} \, dx$。利用不等式 $|\cos x| \ge \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$，则 $\int_1^{+\infty} \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} \, dx \ge \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx + \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\cos 2x}{\sqrt{x}} \, dx$。其中 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ 发散（$\frac{1}{2} \le 1$），而 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos 2x}{\sqrt{x}} \, dx$ 条件收敛，故绝对值积分发散。

由第一步知积分在 $0$ 附近收敛，第二步知无穷远处收敛，故原积分收敛。第三步表明绝对值积分发散，因此原积分条件收敛。