西南财经大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
二、（20 分）已知抛物线 $\displaystyle y=-x^{2}+B x+C$ 与 $x$ 轴在 $\displaystyle a, b (a<b)$ 点相交，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b) =0, f(x)$ 与 $\displaystyle y=-x^{2}+B x+C$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有一个交点，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-2$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件并建立函数关系
已知抛物线 $y = -x^2 + Bx + C$ 与 $x$ 轴交于 $a, b$ 两点，且 $a < b$，因此有 $f(a) = f(b) = 0$。函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且与抛物线在 $(a, b)$ 内有一个交点，即存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f(c) = -c^2 + Bc + C$。
公式：$f(a)=f(b)=0$, $f(c)=-c^2+Bc+C$
提示：注意抛物线在 $a,b$ 处的值为零，这是构造辅助函数的基础。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数 $g(x)$
定义辅助函数 $g(x) = f(x) - (-x^2 + Bx + C) = f(x) + x^2 - Bx - C$。则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，且由已知条件可得：$g(a)=0$, $g(b)=0$, $g(c)=0$，即 $g(x)$ 有三个零点 $a, c, b$。
公式：$g(x)=f(x)+x^2-Bx-C$
提示：构造差值函数是处理两个函数交点问题的常用技巧。
步骤 3/5
目标：第一次应用 Rolle 定理
由于 $g(a)=g(c)=0$，由 Rolle 定理，存在 $\xi_1 \in (a, c)$ 使得 $g'(\xi_1)=0$。同理，由于 $g(c)=g(b)=0$，存在 $\xi_2 \in (c, b)$ 使得 $g'(\xi_2)=0$。
公式：$g'(\xi_1)=0$, $g'(\xi_2)=0$
提示：Rolle 定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点函数值相等。
步骤 4/5
目标：第二次应用 Rolle 定理
现在 $g'(\xi_1)=g'(\xi_2)=0$，且 $\xi_1 < \xi_2$。对 $g'(x)$ 在 $[\xi_1, \xi_2]$ 上应用 Rolle 定理，存在 $\xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (a, b)$ 使得 $g''(\xi)=0$。
公式：$g''(\xi)=0$
提示：注意 $\xi$ 的范围是 $(a,b)$ 的子区间，因此 $\xi \in (a,b)$。
步骤 5/5
目标：计算二阶导数并得出结论
由 $g(x)=f(x)+x^2-Bx-C$，求二阶导得 $g''(x)=f''(x)+2$。代入 $g''(\xi)=0$ 得 $f''(\xi)+2=0$，即 $f''(\xi)=-2$。
公式：$f''(\xi) = -2$
提示：二阶导数计算要准确，注意常数项和一次项的二阶导数为零。
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