西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的偏导数是否存在；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数表达式
题目未直接给出函数表达式，但常见题型为分段函数：
\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} \]
以此为例进行分析。
公式：f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
提示：如果实际题目中函数不同，只需按相同步骤代入具体表达式即可。
步骤 2/6
目标：写出关于x的偏导数定义
由偏导数定义：
\[ f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} \]
其中h为自变量增量。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
提示：注意偏导数的定义是极限形式，h趋近于0但不等于0。
步骤 3/6
目标：计算f(h,0)并求极限
当h≠0时，代入函数：
\[ f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{h^2+0}=0 \]
且f(0,0)=0，所以差商为：
\[ \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 \]
取极限得：
\[ \lim_{h\to 0}0=0 \]
公式：\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0 \Rightarrow f_x(0,0)=0
提示：这里差商恒为0，极限显然为0，偏导数存在。
步骤 4/6
目标：写出关于y的偏导数定义
由偏导数定义：
\[ f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k} \]
其中k为自变量增量。
公式：f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}
提示：注意与x偏导数的对称性。
步骤 5/6
目标：计算f(0,k)并求极限
当k≠0时，代入函数：
\[ f(0,k)=\frac{0\cdot k}{0+k^2}=0 \]
且f(0,0)=0，所以差商为：
\[ \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0 \]
取极限得：
\[ \lim_{k\to 0}0=0 \]
公式：\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0 \Rightarrow f_y(0,0)=0
提示：同样差商恒为0，偏导数存在。
步骤 6/6
目标：总结结论并补充说明
对于所举例的函数，两个偏导数都存在且为0：
\[ f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0 \]
注意：偏导数存在不能推出函数在该点连续（例如沿y=x方向极限为1/2≠0）。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：偏导数存在仅说明沿坐标轴方向的变化率存在，与连续性无关。
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