📝 西南财经大学 2021年数学分析真题

1．函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的偏导数是否存在；

2．函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点是否可微．

三、已知函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sqrt{|x y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

讨论：
1．函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的偏导数是否存在；
2．函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微．

二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq a<b$ ．
证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

五、讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ 的玫散性．

八、求二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+x y\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中

$$
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 x\right\}
$$

六、已知 $\displaystyle f(u, v), ~ g(t)$ 均为二阶可微函数，且

$$
z(x, y)=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{x}{y}\right)
$$

求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, ~ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

四、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}}$ ．