西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
六、已知 $\displaystyle f(u, v), ~ g(t)$ 均为二阶可微函数，且
$$
z(x, y)=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{x}{y}\right)
$$
求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, ~ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入中间变量并明确函数关系
设 $u = xy$, $v = \frac{x}{y}$, $t = \frac{x}{y}$，则 $z(x,y) = f(u,v) + g(t)$。其中 $f(u,v)$ 和 $g(t)$ 均为二阶可微函数。
公式：u = xy, \quad v = \frac{x}{y}, \quad t = \frac{x}{y}
提示：注意 $v$ 和 $t$ 表达式相同，但分别属于 $f$ 和 $g$ 的变量，求导时需区分 $f_v$ 和 $g'$。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导 $\frac{\partial z}{\partial x}$
对 $z$ 关于 $x$ 求偏导，使用链式法则：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x}
\]
其中
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f_u \cdot y + f_v \cdot \frac{1}{y}
\]
\[
\frac{\partial g}{\partial x} = g'(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial x} = g' \cdot \frac{1}{y}
\]
因此
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y f_u + \frac{1}{y} f_v + \frac{1}{y} g'
\]
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = y f_u + \frac{1}{y} f_v + \frac{1}{y} g'
提示：注意 $f_u$ 和 $f_v$ 仍是 $u,v$ 的函数，不能视为常数。
步骤 3/6
目标：对第一项 $y f_u$ 关于 $y$ 求偏导
对 $y f_u$ 使用乘积法则：
\[
\frac{\partial}{\partial y}(y f_u) = f_u + y \cdot \frac{\partial f_u}{\partial y}
\]
其中
\[
\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_{uu} \cdot x + f_{uv} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = x f_{uu} - \frac{x}{y^2} f_{uv}
\]
代入得：
\[
f_u + y \left( x f_{uu} - \frac{x}{y^2} f_{uv} \right) = f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv}
\]
公式：\frac{\partial}{\partial y}(y f_u) = f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv}
提示：注意 $f_{uv} = f_{vu}$ 在后续合并时可能抵消。
步骤 4/6
目标：对第二项 $\frac{1}{y} f_v$ 关于 $y$ 求偏导
使用乘积法则：
\[
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} f_v\right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}
\]
其中
\[
\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_{vu} \cdot x + f_{vv} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = x f_{uv} - \frac{x}{y^2} f_{vv}
\]
代入得：
\[
-\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \left( x f_{uv} - \frac{x}{y^2} f_{vv} \right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv}
\]
公式：\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} f_v\right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv}
提示：利用 $f_{vu} = f_{uv}$ 简化表达式。
步骤 5/6
目标：对第三项 $\frac{1}{y} g'$ 关于 $y$ 求偏导
使用乘积法则：
\[
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} g'\right) = -\frac{1}{y^2} g' + \frac{1}{y} \cdot g'' \cdot \frac{\partial t}{\partial y}
\]
其中 $\frac{\partial t}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$，代入得：
\[
-\frac{1}{y^2} g' + \frac{1}{y} \cdot g'' \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2} g' - \frac{x}{y^3} g''
\]
公式：\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} g'\right) = -\frac{1}{y^2} g' - \frac{x}{y^3} g''
提示：注意 $g''$ 是对 $t$ 的二阶导数，$t = x/y$。
步骤 6/6
目标：合并所有项得到混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
将前三步结果相加：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \left( f_u + xy f_{uu} - \frac{x}{y} f_{uv} \right) + \left( -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{x}{y} f_{uv} - \frac{x}{y^3} f_{vv} \right) + \left( -\frac{1}{y^2} g' - \frac{x}{y^3} g'' \right)
\]
其中 $-\frac{x}{y} f_{uv}$ 与 $+\frac{x}{y} f_{uv}$ 抵消，整理得：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u + xy f_{uu} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv} - \frac{1}{y^2} g' - \frac{x}{y^3} g''
\]
公式：\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u + xy f_{uu} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv} - \frac{1}{y^2} g' - \frac{x}{y^3} g''
提示：检查交叉项是否抵消，确保符号正确。
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