西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
八、求二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+x y\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 x\right\}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域并化简
由不等式 $x^2 + y^2 \le 2x$ 出发，将其配方：
\[
x^2 - 2x + y^2 \le 0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2 + y^2 \le 1
\]
因此积分区域 $D$ 是圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆盘。
公式：$(x-1)^2 + y^2 \le 1$
提示：注意配方时不要遗漏常数项，确保等式正确。
步骤 2/6
目标：选择合适的坐标变换
由于区域是圆但圆心不在原点，采用平移后的极坐标：
令 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $0 \le r \le 1$，$\theta \in [0, 2\pi)$。
雅可比行列式为 $r$，故面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
公式：$x = 1 + r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$
提示：平移极坐标的雅可比行列式与标准极坐标相同，仍为 $r$。
步骤 3/6
目标：将被积函数用新变量表示并展开
计算 $x^2 + xy$：
\[
x^2 + xy = (1 + r\cos\theta)(1 + r\cos\theta + r\sin\theta)
\]
展开并按 $r$ 的幂次整理：
常数项：$1$
一次项：$2r\cos\theta + r\sin\theta$
二次项：$r^2(\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta)$
令 $A = 2\cos\theta + \sin\theta$，$B = \cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta$，则
\[
x^2 + xy = 1 + rA + r^2B
\]
平方得：
\[
(x^2+xy)^2 = 1 + 2rA + r^2(A^2 + 2B) + 2r^3AB + r^4B^2
\]
公式：$(x^2+xy)^2 = 1 + 2rA + r^2(A^2+2B) + 2r^3AB + r^4B^2$
提示：展开时注意合并同类项，避免遗漏交叉项。
步骤 4/6
目标：对 $r$ 积分并写出关于 $\theta$ 的积分表达式
积分需乘雅可比 $r$，故被积函数为：
\[
r \cdot (x^2+xy)^2 = r + 2r^2A + r^3(A^2+2B) + 2r^4AB + r^5B^2
\]
对 $r$ 从 $0$ 到 $1$ 积分：
\[
\int_0^1 r\,dr = \frac12,\quad \int_0^1 r^2\,dr = \frac13,\quad \int_0^1 r^3\,dr = \frac14,\quad \int_0^1 r^4\,dr = \frac15,\quad \int_0^1 r^5\,dr = \frac16
\]
因此二重积分化为：
\[
I = \int_0^{2\pi} \left[ \frac12 + \frac{2}{3}A + \frac14(A^2+2B) + \frac{2}{5}AB + \frac16 B^2 \right] d\theta
\]
公式：$I = \int_0^{2\pi} \left[ \frac12 + \frac{2}{3}A + \frac14(A^2+2B) + \frac{2}{5}AB + \frac16 B^2 \right] d\theta$
提示：注意 $r$ 的幂次与积分结果对应，不要混淆系数。
步骤 5/6
目标：计算各三角函数的积分
首先，$\int_0^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = 0$，故含 $A$ 的一次项积分为 $0$。
计算 $A^2 = (2\cos\theta + \sin\theta)^2 = 4\cos^2\theta + 4\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta$：
\[
\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi,\quad \int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \pi,\quad \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0
\]
故 $\int_0^{2\pi} A^2\,d\theta = 4\pi + 0 + \pi = 5\pi$。
计算 $B = \cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta$：
\[
\int_0^{2\pi} B\,d\theta = \pi + 0 = \pi
\]
计算 $AB = (2\cos\theta+\sin\theta)(\cos^2\theta+\cos\theta\sin\theta)$，展开得 $2\cos^3\theta + 3\cos^2\theta\sin\theta + \cos\theta\sin^2\theta$，各项在 $[0,2\pi]$ 上的积分均为 $0$，故 $\int AB\,d\theta = 0$。
计算 $B^2 = (\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta)^2 = \cos^4\theta + 2\cos^3\theta\sin\theta + \cos^2\theta\sin^2\theta$：
\[
\int_0^{2\pi} \cos^4\theta\,d\theta = \frac{3\pi}{4},\quad \int_0^{2\pi} \cos^3\theta\sin\theta\,d\theta = 0,\quad \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}
\]
故 $\int_0^{2\pi} B^2\,d\theta = \frac{3\pi}{4} + 0 + \frac{\pi}{4} = \pi$。
公式：$\int_0^{2\pi} A^2\,d\theta = 5\pi,\quad \int_0^{2\pi} B\,d\theta = \pi,\quad \int_0^{2\pi} AB\,d\theta = 0,\quad \int_0^{2\pi} B^2\,d\theta = \pi$
提示：利用三角函数的正交性和对称性可简化计算，注意 $"cos^4\theta$ 和 $"cos^2\theta\sin^2\theta$ 的积分公式。
步骤 6/6
目标：代入积分结果并求值
将各积分结果代入 $I$ 的表达式：
常数项：$\frac12 \cdot 2\pi = \pi$
$\frac14(A^2+2B)$ 项：$\frac14(5\pi + 2\pi) = \frac14 \cdot 7\pi = \frac{7\pi}{4}$
$\frac16 B^2$ 项：$\frac16 \cdot \pi = \frac{\pi}{6}$
其余项均为 $0$。
因此：
\[
I = \pi + \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{12} + \frac{21\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{35\pi}{12}
\]
公式：$I = \frac{35\pi}{12}$
提示：通分时注意分母统一为12，避免计算错误。
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