西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq a<b$ ．
证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用拉格朗日中值定理得到ξ的关系式
由于函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，即 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
公式：f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
提示：注意拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，题目条件完全满足。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并应用柯西中值定理得到η的关系式
令 $g(x)=x^2$，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且 $g'(x)=2x \neq 0$（因为 $0 \leq a < b$，所以区间内 $x>0$）。由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}$。代入 $g(b)-g(a)=b^2-a^2=(b-a)(a+b)$，$g'(\eta)=2\eta$，得 $\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)(a+b)}=\frac{f'(\eta)}{2\eta}$。
公式：\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)(a+b)}=\frac{f'(\eta)}{2\eta}
提示：柯西中值定理要求分母函数在区间端点值不相等且导数不为零，这里 $g(b) \neq g(a)$ 且 $g'(x)=2x>0$，条件成立。
步骤 3/4
目标：将两个中值定理的结果联立
将第二步得到的等式两边同时乘以 $(b-a)$，得到 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta)$。
公式：\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta)
提示：注意 $b^2-a^2=(b-a)(a+b)$ 的因式分解，这是关键变形。
步骤 4/4
目标：代入第一步的结果，完成证明
由第一步知 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，代入第三步的等式，即得 $f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta)$。由于 $\xi,\eta \in (a,b)$，结论成立。
公式：f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta)
提示：这里 $\xi$ 和 $\eta$ 分别由两个不同的中值定理得到，它们不一定相等，但都在 $(a,b)$ 内，满足题目要求。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。