西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
五、讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确积分形式与反常性质
考虑反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^k}$。积分上限为无穷，因此需要讨论无穷远处的收敛性。下限取为2，避免了 $x=1$ 处 $\ln x = 0$ 导致的奇点，故只需关注 $x \to +\infty$ 时的行为。
公式：$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^k}$
提示：注意积分下限选2而非1，是为了避免被积函数在 $x=1$ 处无定义，但本题只讨论无穷远处的收敛性，因此下限不影响结论。
步骤 2/4
目标：变量代换简化积分
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$dx = e^t dt$。当 $x=2$ 时，$t = \ln 2$；当 $x \to +\infty$ 时，$t \to +\infty$。代入原积分得：
$$\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^k} = \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{e^t dt}{e^t \cdot t^k} = \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{dt}{t^k}.$$
公式：$\displaystyle \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{dt}{t^k}$
提示：代换后分母的 $e^t$ 与分子 $e^t dt$ 中的 $e^t$ 约去，简化成关于 $t$ 的幂函数积分，这是处理含 $\ln x$ 积分的常用技巧。
步骤 3/4
目标：讨论简化后积分的收敛性（p-积分判别法）
现在需要讨论 $\displaystyle \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{dt}{t^k}$ 的收敛性。这是一个经典的 p-积分（指数为 $k$）：
- 当 $k > 1$ 时，积分收敛（因为幂次大于1，在无穷远处衰减足够快）；
- 当 $k = 1$ 时，原函数为 $\ln t$，当 $t \to +\infty$ 时趋于无穷，积分发散；
- 当 $k < 1$ 时，原函数为 $\frac{t^{1-k}}{1-k}$，当 $t \to +\infty$ 时也趋于无穷，积分发散。
因此，积分收敛当且仅当 $k > 1$。
公式：$\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{dt}{t^k}$ 收敛当且仅当 $k > 1$
提示：注意 p-积分判别法：$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{t^p} dt$ 在 $p>1$ 时收敛，$p \le 1$ 时发散。此处 $p=k$，直接应用即可。
步骤 4/4
目标：回代得到原积分的收敛性结论
由于变量代换不改变积分的收敛性，原积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^k}$ 的收敛性与 $\displaystyle \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{dt}{t^k}$ 相同。因此：
- 当 $k > 1$ 时，原积分收敛；
- 当 $k \le 1$ 时，原积分发散。
公式：$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^k}$ 收敛当且仅当 $k > 1$
提示：代换过程中积分下限从2变为 $\ln 2$，但 $\ln 2 > 0$，不影响无穷远处的收敛性判断。
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