西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点是否可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断函数在(0,0)点的连续性
可微的必要条件是函数在该点连续。计算极限：
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}
\]
令 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，则
\[
\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r} = r\cos\theta\sin\theta
\]
当 \(r\to 0\) 时，极限为 0。又 \(f(0,0)=0\)，所以函数在原点连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0
提示：注意使用极坐标变换简化极限计算，并验证极限值等于函数值。
步骤 2/4
目标：求偏导数 f_x(0,0) 和 f_y(0,0)
按偏导数定义：
\[
f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0
\]
\[
f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0-0}{k} = 0
\]
所以两个一阶偏导数都存在且为 0。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,\quad f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0
提示：偏导数存在是微分的必要条件，但非充分条件，需进一步验证。
步骤 3/4
目标：用可微定义验证极限是否为零
可微要求：
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
\]
代入 \(f(0,0)=0, f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0\)，分子为 \(f(h,k)=\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}\)，分母为 \(\sqrt{h^2+k^2}\)，得
\[
\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{hk}{h^2+k^2}
\]
取路径 \(h = k\)，则
\[
\frac{h^2}{2h^2} = \frac12 \neq 0
\]
所以极限不为 0，函数在原点不可微。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk}{h^2+k^2} \neq 0
提示：选择特殊路径（如 h=k）是证明极限不存在或不为零的常用技巧，注意路径的多样性。
步骤 4/4
目标：得出结论
函数在 (0,0) 点连续且偏导数存在，但全增量不能被线性部分充分近似，因此不可微。
提示：可微的充分条件是偏导数连续，但本题偏导数不连续，故不可微。
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