西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
四、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：提取常数因子，化简级数表达式
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}}$，由于分母中的 $4^{n+1}=4 \cdot 4^n$，可提取常数因子 $\frac{1}{4}$：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^n}
$$
令 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^n}$，则原级数 $= \frac{1}{4}S$。
公式：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^n}$
提示：注意 $4^{n+1}=4 \cdot 4^n$，提取因子时不要遗漏分母中的常数。
步骤 2/6
目标：将分子展开，分解为两个基本级数之和
将分子 $n(n+2)$ 展开为 $n^2+2n$，则：
$$
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2n}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{4^n} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}
$$
这样就将原级数分解为两个常见幂级数的和，其中 $x = \frac{1}{4}$。
公式：$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{4^n} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}$
提示：展开后注意 $2n$ 的系数2要保留在求和号外。
步骤 3/6
目标：利用几何级数求导公式，推导 $\sum n x^n$ 和 $\sum n^2 x^n$ 的封闭形式
已知几何级数公式：当 $|x|<1$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$。
对 $x$ 求导一次：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$，两边乘以 $x$ 得：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}
$$
再对 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ 求导：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}$，两边乘以 $x^2$ 得：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3}
$$
由于 $n^2 = n(n-1) + n$，因此：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1)x^n + \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2}
$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$，$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2}$
提示：求导时注意求和起始下标的变化，以及 $n=0$ 项为0不影响结果。
步骤 4/6
目标：代入 $x = \frac{1}{4}$，计算 $\sum n x^n$ 和 $\sum n^2 x^n$ 的值
代入 $x = \frac{1}{4}$：
先计算 $\sum n x^n$：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}}{(1-\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}
$$
再计算 $\sum n^2 x^n$：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{2 \cdot (\frac{1}{4})^2}{(1-\frac{1}{4})^3} + \frac{\frac{1}{4}}{(1-\frac{1}{4})^2}
$$
计算分母：$1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，立方为 $\frac{27}{64}$，平方为 $\frac{9}{16}$。
第一项：$\frac{2 \cdot \frac{1}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{27}{64}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{27} = \frac{8}{27}$
第二项：$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9} = \frac{12}{27}$
相加得：$\frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{20}{27}$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{4}{9}$，$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{20}{27}$
提示：分数运算时注意通分，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：计算 $S$ 的值
由第二步：$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{4^n} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}$，代入上一步结果：
$$
S = \frac{20}{27} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{27} + \frac{8}{9}
$$
将 $\frac{8}{9}$ 通分为 $\frac{24}{27}$，则：
$$
S = \frac{20}{27} + \frac{24}{27} = \frac{44}{27}
$$
公式：$S = \frac{20}{27} + \frac{8}{9} = \frac{44}{27}$
提示：注意 $2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，不要误算为 $\frac{8}{18}$。
步骤 6/6
目标：回到原级数，得出最终答案
原级数 $= \frac{1}{4} S = \frac{1}{4} \cdot \frac{44}{27} = \frac{44}{108} = \frac{11}{27}$（约分）。
因此，所求无穷级数的和为 $\boxed{\frac{11}{27}}$。
公式：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}} = \frac{11}{27}$
提示：最后结果要化简为最简分数。
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