西南财经大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
三、已知函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sqrt{|x y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
讨论：
1．函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的偏导数是否存在；
2．函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算函数在(0,0)处对x的偏导数
由偏导数定义，\( f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \)。当 \( y=0 \) 且 \( h \neq 0 \) 时，\( f(h,0) = \frac{\sqrt{|h \cdot 0|}}{h^2+0} \sin(h^2+0) = \frac{0}{h^2} \sin(h^2)=0 \)，故分子为0，极限为0。因此 \( f_x(0,0)=0 \)。
公式：f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 0
提示：注意当y=0时，分子中的根号项为零，直接得到f(h,0)=0，无需考虑sin项。
步骤 2/6
目标：计算函数在(0,0)处对y的偏导数
由偏导数定义，\( f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} \)。当 \( x=0 \) 且 \( k \neq 0 \) 时，\( f(0,k) = \frac{\sqrt{|0 \cdot k|}}{0+k^2} \sin(0+k^2)=0 \)，故分子为0，极限为0。因此 \( f_y(0,0)=0 \)。
公式：f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = 0
提示：与x偏导类似，对称性可得结果。
步骤 3/6
目标：写出可微性判定的极限表达式
函数在(0,0)处可微当且仅当存在常数A,B（此处A=B=0）使得 \( \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-Ah-Bk}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 \)。由于 \( f(0,0)=0 \)，且A=B=0，只需验证 \( \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0 \)。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
提示：可微定义中A,B即偏导数值，此处已求得为0。
步骤 4/6
目标：代入f(h,k)并化简极限表达式
代入 \( f(h,k) = \frac{\sqrt{|hk|}}{h^2+k^2} \sin(h^2+k^2) \)，得 \( \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{\sqrt{|hk|}}{h^2+k^2} \cdot \frac{\sin(h^2+k^2)}{\sqrt{h^2+k^2}} \)。利用等价无穷小 \( \sin(t) \sim t \) 当 \( t \to 0 \)，有 \( \sin(h^2+k^2) \sim h^2+k^2 \)，故表达式等价于 \( \frac{\sqrt{|hk|}}{h^2+k^2} \cdot \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{\sqrt{|hk|}}{\sqrt{h^2+k^2}} \)。
公式：\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} \sim \frac{\sqrt{|hk|}}{\sqrt{h^2+k^2}}
提示：使用等价无穷小简化时，注意极限过程是(h,k)→(0,0)，sin项可替换。
步骤 5/6
目标：选取特殊路径判断极限是否为零
取路径 \( h = k = t > 0 \)，则 \( \frac{\sqrt{|hk|}}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{2t^2}} = \frac{t}{\sqrt{2} t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)。当 \( t \to 0^+ \) 时，该值恒为 \( \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0 \)，因此原极限不为0。
公式：\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{2t^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0
提示：特殊路径的选择要能暴露极限的非零性，此处取h=k即可。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于极限 \( \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} \) 不为0，不满足可微定义，故函数在(0,0)处不可微。而偏导数均存在且为0。
提示：偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件，需进一步验证。
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