西南财经大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，请计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 在坐标变换
$$
\left\{\begin{array}{l}
u=x^{2}-y^{2} \\
v=2 x y
\end{array}\right.
$$
下的表达式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确变量关系与链式法则准备
已知坐标变换：
\[ u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy \]
将 $z(x,y)$ 视为 $u,v$ 的复合函数 $z = z(x(u,v), y(u,v))$，利用链式法则将关于 $x,y$ 的偏导数转换为关于 $u,v$ 的偏导数。
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}
提示：注意 $u,v$ 是 $x,y$ 的函数，求偏导时需先计算 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$。
步骤 2/7
目标：计算一阶偏导数 $z_x$ 和 $z_y$
计算所需偏导：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \]
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \]
代入链式法则得：
\[ z_x = 2x\, z_u + 2y\, z_v \]
\[ z_y = -2y\, z_u + 2x\, z_v \]
公式：z_x = 2x z_u + 2y z_v, \quad z_y = -2y z_u + 2x z_v
提示：这里 $z_u = \frac{\partial z}{\partial u}, z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$，它们仍是 $u,v$ 的函数。
步骤 3/7
目标：计算二阶偏导数 $z_{xx}$
对 $z_x$ 再对 $x$ 求偏导：
\[ z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x z_u + 2y z_v) \]
先处理第一项：
\[ \frac{\partial}{\partial x}(2x z_u) = 2z_u + 2x \frac{\partial z_u}{\partial x} \]
其中 $\frac{\partial z_u}{\partial x} = z_{uu} \cdot 2x + z_{uv} \cdot 2y$，所以贡献为 $2z_u + 4x^2 z_{uu} + 4xy z_{uv}$。
再处理第二项：
\[ \frac{\partial}{\partial x}(2y z_v) = 2y \frac{\partial z_v}{\partial x} \]
其中 $\frac{\partial z_v}{\partial x} = z_{vu} \cdot 2x + z_{vv} \cdot 2y$，且 $z_{uv}=z_{vu}$，贡献为 $4xy z_{uv} + 4y^2 z_{vv}$。
合并得：
\[ z_{xx} = 2z_u + 4x^2 z_{uu} + 8xy z_{uv} + 4y^2 z_{vv} \]
公式：z_{xx} = 2z_u + 4x^2 z_{uu} + 8xy z_{uv} + 4y^2 z_{vv}
提示：注意 $z_u$ 和 $z_v$ 是复合函数，求导时需再次使用链式法则，并利用二阶连续偏导保证 $z_{uv}=z_{vu}$。
步骤 4/7
目标：计算二阶偏导数 $z_{yy}$
对 $z_y = -2y z_u + 2x z_v$ 再对 $y$ 求偏导：
\[ z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y z_u) + \frac{\partial}{\partial y}(2x z_v) \]
第一项：
\[ \frac{\partial}{\partial y}(-2y z_u) = -2z_u - 2y \frac{\partial z_u}{\partial y} \]
其中 $\frac{\partial z_u}{\partial y} = z_{uu} \cdot (-2y) + z_{uv} \cdot (2x) = -2y z_{uu} + 2x z_{uv}$，贡献为 $-2z_u + 4y^2 z_{uu} - 4xy z_{uv}$。
第二项：
\[ \frac{\partial}{\partial y}(2x z_v) = 2x \frac{\partial z_v}{\partial y} \]
其中 $\frac{\partial z_v}{\partial y} = z_{vu} \cdot (-2y) + z_{vv} \cdot (2x) = -2y z_{uv} + 2x z_{vv}$，贡献为 $-4xy z_{uv} + 4x^2 z_{vv}$。
合并得：
\[ z_{yy} = -2z_u + 4y^2 z_{uu} - 8xy z_{uv} + 4x^2 z_{vv} \]
公式：z_{yy} = -2z_u + 4y^2 z_{uu} - 8xy z_{uv} + 4x^2 z_{vv}
提示：注意 $\frac{\partial z_u}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial z_v}{\partial y}$ 的链式法则中 $u$ 和 $v$ 对 $y$ 的偏导符号不同。
步骤 5/7
目标：求和 $z_{xx} + z_{yy}$ 并化简
将 $z_{xx}$ 和 $z_{yy}$ 相加：
- $z_u$ 项：$2z_u + (-2z_u) = 0$
- $z_{uu}$ 项：$4x^2 z_{uu} + 4y^2 z_{uu} = 4(x^2+y^2) z_{uu}$
- $z_{uv}$ 项：$8xy z_{uv} + (-8xy z_{uv}) = 0$
- $z_{vv}$ 项：$4y^2 z_{vv} + 4x^2 z_{vv} = 4(x^2+y^2) z_{vv}$
因此：
\[ z_{xx} + z_{yy} = 4(x^2+y^2)(z_{uu} + z_{vv}) \]
公式：z_{xx} + z_{yy} = 4(x^2+y^2)(z_{uu} + z_{vv})
提示：交叉项 $z_{uv}$ 恰好抵消，这是变换的对称性导致的。
步骤 6/7
目标：用 $u,v$ 表示 $x^2+y^2$
由变换关系：
\[ u = x^2 - y^2, \quad v = 2xy \]
计算 $u^2 + v^2$：
\[ u^2 + v^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 + 4x^2y^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2+y^2)^2 \]
因此：
\[ x^2 + y^2 = \sqrt{u^2 + v^2} \]
公式：x^2 + y^2 = \sqrt{u^2 + v^2}
提示：由于 $x^2+y^2 > 0$，取算术平方根。
步骤 7/7
目标：写出最终表达式
将 $x^2+y^2 = \sqrt{u^2+v^2}$ 代入 $z_{xx}+z_{yy}$ 的表达式中：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4\sqrt{u^2+v^2} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \right) \]
公式：\boxed{4\sqrt{u^{2}+v^{2}}\left( \frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}} \right)}
提示：最终结果中 $z$ 视为 $u,v$ 的函数，偏导数均关于 $u,v$ 计算。
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