📝 西南财经大学 2024年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^{2} x-2 \tan x}{1+\cos 4 x}$ ．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=1$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle \xi f^{\prime \prime}(\xi)+(1+\xi) f^{\prime}(\xi)=1+\xi$ ．

3．设函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，偏导数是否存在，是否可微．

4．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，请计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 在坐标变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
u=x^{2}-y^{2} \\
v=2 x y
\end{array}\right.
$$

下的表达式．

5．求 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+9$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上的最大值和最小值．

6．计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq a x\right\}, a>0$ ．

7．求下列级数的和 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}$ ．

8．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．