西南财经大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．设函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，偏导数是否存在，是否可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断函数在原点是否连续
要判断函数在原点是否连续，需要计算极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否等于 $f(0,0)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$f(x,y)=x-y+\frac{xy^3}{x^2+y^4}$。前两项 $x-y$ 显然趋于0，因此只需分析第三项 $\frac{xy^3}{x^2+y^4}$ 的极限。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^3}{x^2+y^4}
提示：注意不能仅通过沿坐标轴的路径判断，需要尝试多种路径或使用不等式放缩。
步骤 2/6
目标：用不等式放缩证明第三项极限为0
利用基本不等式 $x^2+y^4 \geq 2|x|y^2$（由AM-GM不等式得到），则 $\left|\frac{xy^3}{x^2+y^4}\right| \leq \frac{|x||y|^3}{2|x|y^2} = \frac{|y|}{2}$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$\frac{|y|}{2}\to 0$，因此由夹逼定理，第三项极限为0。于是 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，函数在原点连续。
公式：\left|\frac{xy^3}{x^2+y^4}\right| \leq \frac{|y|}{2} \to 0
提示：AM-GM不等式：$a^2+b^2 \geq 2ab$，这里取 $a=|x|, b=y^2$ 得到 $x^2+y^4 \geq 2|x|y^2$。
步骤 3/6
目标：判断偏导数 $f_x(0,0)$ 是否存在
根据偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。代入 $f(h,0)=h-0+\frac{h\cdot0}{h^2+0}=h$，$f(0,0)=0$，得 $\lim_{h\to 0}\frac{h-0}{h}=1$。因此 $f_x(0,0)=1$ 存在。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1
提示：沿x轴方向计算偏导时，$y=0$ 使得第三项为0，简化计算。
步骤 4/6
目标：判断偏导数 $f_y(0,0)$ 是否存在
根据偏导数定义：$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$。代入 $f(0,k)=0-k+\frac{0\cdot k^3}{0+k^4}=-k$，$f(0,0)=0$，得 $\lim_{k\to 0}\frac{-k-0}{k}=-1$。因此 $f_y(0,0)=-1$ 存在。
公式：f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{-k}{k}=-1
提示：沿y轴方向计算偏导时，$x=0$ 使得第三项为0，简化计算。
步骤 5/6
目标：判断函数在原点是否可微
函数可微的充要条件是：$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入 $f(h,k)=h-k+\frac{hk^3}{h^2+k^4}$，$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=-1$，分子化简为 $\frac{hk^3}{h^2+k^4}$。因此需判断极限 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk^3}{(h^2+k^4)\sqrt{h^2+k^2}}$ 是否为0。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk^3}{(h^2+k^4)\sqrt{h^2+k^2}}
提示：分子化简时注意 $h$ 和 $k$ 的线性项抵消，只剩下第三项。
步骤 6/6
目标：选取特殊路径证明不可微
取路径 $k = h^{1/2}$（$h>0$），则 $h^2+k^4 = h^2+h^2=2h^2$，分子 $hk^3 = h\cdot h^{3/2}=h^{5/2}$，分母中 $\sqrt{h^2+k^2} = \sqrt{h^2+h} \sim \sqrt{h}$（当 $h\to0^+$）。于是极限值 $\frac{h^{5/2}}{2h^2\cdot\sqrt{h}} = \frac{1}{2} \neq 0$。因此极限不为0，函数在原点不可微。
公式：\frac{h^{5/2}}{2h^2\cdot\sqrt{h}} = \frac{1}{2} \not\to 0
提示：选择路径 $k=h^{1/2}$ 使得分母中 $h^2$ 和 $k^4$ 同阶，分子 $hk^3$ 与分母的阶数匹配，导致极限非零。
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