西南财经大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=1$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle \xi f^{\prime \prime}(\xi)+(1+\xi) f^{\prime}(\xi)=1+\xi$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明存在一点使得导数为1
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，因此一阶可导。由拉格朗日中值定理，存在 $x_0 \in (0,1)$ 使得 $f'(x_0) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{1-0}{1} = 1$。
公式：f'(x_0) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1
提示：注意拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间连续、开区间可导，这里二阶可导保证了这些条件成立。
步骤 2/5
目标：分析第二问目标等式的结构
要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\xi f''(\xi) + (1+\xi)f'(\xi) = 1+\xi$。观察左边，可尝试将其与某个函数的导数联系起来。注意到 $\frac{d}{dx}[x f'(x)] = f'(x) + x f''(x)$，因此左边可改写为 $\frac{d}{dx}[x f'(x)] + \xi f'(\xi)$。
公式：\frac{d}{dx}[x f'(x)] = f'(x) + x f''(x)
提示：将等式变形为导数形式是构造辅助函数的关键思路。
步骤 3/5
目标：构造辅助函数
为了利用罗尔定理，构造辅助函数 $\varphi(x) = e^x (x f'(x) - x)$。计算其导数：$\varphi'(x) = e^x (x f'(x) - x) + e^x (f'(x) + x f''(x) - 1) = e^x [x f''(x) + (1+x)f'(x) - (1+x)]$。因此 $\varphi'(\xi)=0$ 当且仅当 $\xi f''(\xi)+(1+\xi)f'(\xi)=1+\xi$。
公式：\varphi'(x) = e^x [x f''(x) + (1+x)f'(x) - (1+x)]
提示：构造辅助函数时，可考虑将目标等式视为某个一阶线性微分方程，乘以积分因子 $e^x$ 得到导数形式。
步骤 4/5
目标：验证辅助函数在两点处函数值相等
计算 $\varphi(0) = e^0 (0 \cdot f'(0) - 0) = 0$。由第一问，存在 $x_0 \in (0,1)$ 使得 $f'(x_0)=1$，则 $\varphi(x_0) = e^{x_0} (x_0 \cdot 1 - x_0) = 0$。因此 $\varphi(0) = \varphi(x_0) = 0$。
公式：\varphi(0)=0, \quad \varphi(x_0)=0
提示：注意利用第一问的结论来找到第二个零点，这是本题的关键衔接点。
步骤 5/5
目标：应用罗尔定理得出结论
由于 $\varphi(x)$ 在 $[0, x_0]$ 上连续、在 $(0, x_0)$ 内可导，且 $\varphi(0)=\varphi(x_0)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0, x_0) \subset (0,1)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$，即 $\xi f''(\xi)+(1+\xi)f'(\xi)=1+\xi$。证毕。
公式：\exists \xi \in (0,1): \xi f''(\xi)+(1+\xi)f'(\xi)=1+\xi
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点函数值相等，这里完全满足。
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