西南财经大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^{2} x-2 \tan x}{1+\cos 4 x}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断极限类型
将 $x = \frac{\pi}{4}$ 代入分子和分母：
- 分子：$\sec^2 x - 2\tan x$，其中 $\sec^2\frac{\pi}{4} = 2$，$\tan\frac{\pi}{4} = 1$，得 $2 - 2 = 0$。
- 分母：$1 + \cos 4x$，其中 $\cos\pi = -1$，得 $1 - 1 = 0$。
故为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：$\sec^2\frac{\pi}{4}=2,\ \tan\frac{\pi}{4}=1,\ \cos\pi=-1$
提示：直接代入是判断极限类型的第一步，注意 $\frac{0}{0}$ 型不能直接得结果。
步骤 2/4
目标：化简分子和分母
利用恒等式 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$，分子化为：
$\sec^2 x - 2\tan x = 1 + \tan^2 x - 2\tan x = (\tan x - 1)^2$。
分母利用倍角公式：$\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$，则 $1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x$。
原极限变为：
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\tan x - 1)^2}{2\cos^2 2x}$$
公式：$\sec^2 x = 1+\tan^2 x$，$\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$
提示：恒等变形是处理 $\frac{0}{0}$ 型极限的常用技巧，注意公式的准确使用。
步骤 3/4
目标：变量替换简化计算
令 $t = x - \frac{\pi}{4}$，则当 $x \to \frac{\pi}{4}$ 时 $t \to 0$。
- $\tan x = \tan\left(\frac{\pi}{4}+t\right) = \frac{1+\tan t}{1-\tan t}$，故 $\tan x - 1 = \frac{2\tan t}{1-\tan t}$。
- $\cos 2x = \cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right) = -\sin 2t$，故 $\cos^2 2x = \sin^2 2t$。
代入得：
$$\lim_{t \to 0} \frac{\left(\frac{2\tan t}{1-\tan t}\right)^2}{2\sin^2 2t} = \lim_{t \to 0} \frac{4\tan^2 t}{(1-\tan t)^2 \cdot 2\sin^2 2t} = \lim_{t \to 0} \frac{2\tan^2 t}{(1-\tan t)^2 \sin^2 2t}$$
公式：$\tan\left(\frac{\pi}{4}+t\right)=\frac{1+\tan t}{1-\tan t}$，$\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2t$
提示：变量替换将 $x \to \frac{\pi}{4}$ 转化为 $t \to 0$，便于使用等价无穷小。
步骤 4/4
目标：应用等价无穷小求极限
当 $t \to 0$ 时，$\tan t \sim t$，$\sin 2t \sim 2t$，且 $1-\tan t \to 1$。
因此：
$$\frac{2\tan^2 t}{(1-\tan t)^2 \sin^2 2t} \sim \frac{2 t^2}{1 \cdot (2t)^2} = \frac{2t^2}{4t^2} = \frac{1}{2}$$
故原极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：$\tan t \sim t$，$\sin 2t \sim 2t$（$t \to 0$）
提示：使用等价无穷小时，注意确保替换后的表达式极限存在且非零，同时检查分母是否为零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。