西南财经大学 2024年数学分析第5题

题目要求函数 $f(x,y)=2x^2+y^2-8x-2y+9$ 在闭区域 $D=\{(x,y)\mid 2x^2+y^2\le 1\}$ 上的最大值和最小值。区域 $D$ 是椭圆内部（含边界），函数是连续函数，因此最值存在。由于区域内部可能没有驻点，最值可能在边界上取得，故需先检查内部极值，再用拉格朗日乘数法处理边界。

计算梯度：$\frac{\partial f}{\partial x}=4x-8=0$ 得 $x=2$；$\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2=0$ 得 $y=1$。驻点为 $(2,1)$。代入约束条件：$2\cdot 2^2+1^2=9>1$，故该点不在区域 $D$ 内，因此内部无极值点，最值必在边界上。

边界条件为 $g(x,y)=2x^2+y^2-1=0$。构造拉格朗日函数：$L(x,y,\lambda)=2x^2+y^2-8x-2y+9 - \lambda(2x^2+y^2-1)$。求偏导： $\frac{\partial L}{\partial x}=4x-8-4\lambda x=0$，即 $4x(1-\lambda)=8$； $\frac{\partial L}{\partial y}=2y-2-2\lambda y=0$，即 $2y(1-\lambda)=2$； 约束 $2x^2+y^2=1$。

由前两个方程，若 $1-\lambda=0$ 则左边为0，右边非0，矛盾，故 $1-\lambda\neq0$。解得 $x=\frac{2}{1-\lambda}$，$y=\frac{1}{1-\lambda}$。代入约束：$2\left(\frac{2}{1-\lambda}\right)^2+\left(\frac{1}{1-\lambda}\right)^2=1$，即 $\frac{8}{(1-\lambda)^2}+\frac{1}{(1-\lambda)^2}=1$，得 $\frac{9}{(1-\lambda)^2}=1$，所以 $(1-\lambda)^2=9$，即 $1-\lambda=3$ 或 $1-\lambda=-3$。 情况1：$1-\lambda=3$，则 $x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{3}$； 情况2：$1-\lambda=-3$，则 $x=-\frac{2}{3}, y=-\frac{1}{3}$。

对于点 $(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$： $f=2\cdot\frac{4}{9}+\frac{1}{9}-8\cdot\frac{2}{3}-2\cdot\frac{1}{3}+9 = \frac{8}{9}+\frac{1}{9} - \frac{16}{3} - \frac{2}{3} + 9 = 1 - 6 + 9 = 4$。 对于点 $(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$： $f=2\cdot\frac{4}{9}+\frac{1}{9} -8\cdot(-\frac{2}{3}) -2\cdot(-\frac{1}{3})+9 = 1 + \frac{16}{3} + \frac{2}{3} + 9 = 1 + 6 + 9 = 16$。

由于区域 $D$ 是闭有界集，连续函数 $f$ 必在边界上取得最值。比较两个候选点的函数值：$4$ 和 $16$，可知最小值为 $4$，最大值为 $16$。