西南财经大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{m} y^{m}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n}} \arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right),(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle m>0, n>0$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的偏导数是否存在？是否可微？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出偏导数的定义并计算
在点 $(0,0)$ 处，对 $x$ 的偏导数定义为 $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$。由于 $f(0,0)=0$，且当 $y=0$ 且 $(h,0) \neq (0,0)$ 时，$f(h,0) = \frac{h^m \cdot 0^m}{(h^2+0^2)^n} \arcsin(h^2+0^2) = 0$（因为 $m>0$，$0^m=0$），所以 $f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0$。同理，$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-0}{k} = 0$。
公式：f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-0}{h} = 0,\quad f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-0}{k} = 0
提示：注意分子中 $0^m$ 在 $m>0$ 时恒为0，因此偏导数存在且为0，与 $n$ 无关。
步骤 2/5
目标：写出可微的定义并简化极限
函数在 $(0,0)$ 处可微当且仅当 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。由于 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，极限简化为 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入非零点表达式 $f(h,k) = \frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^n} \arcsin(h^2+k^2)$，得 $L = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^{n+\frac12}} \arcsin(h^2+k^2)$。
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^{n+\frac12}} \arcsin(h^2+k^2)
提示：可微定义中分母是 $\sqrt{h^2+k^2}$，代入后注意指数变化。
步骤 3/5
目标：对反正弦部分做渐近近似
当 $r = \sqrt{h^2+k^2} \to 0$ 时，$\arcsin(r^2) \sim r^2$。因此极限等价于 $L \sim \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^{n+\frac12}} \cdot (h^2+k^2) = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^{n-\frac12}}$。
公式：\arcsin(r^2) \sim r^2 \quad (r \to 0),\quad L \sim \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^{n-\frac12}}
提示：使用等价无穷小替换时，注意保留主要项，且替换后极限的收敛性不变。
步骤 4/5
目标：用极坐标变换分析极限
令 $h = r\cos\theta$，$k = r\sin\theta$，则 $h^m k^m = r^{2m} \cos^m\theta \sin^m\theta$，$(h^2+k^2)^{n-\frac12} = r^{2n-1}$。于是表达式化为 $\frac{r^{2m}}{r^{2n-1}} \cos^m\theta \sin^m\theta = r^{2m-2n+1} \cos^m\theta \sin^m\theta$。当 $r \to 0$ 时，极限为0当且仅当指数 $2m-2n+1 > 0$，即 $m - n > -\frac12$。若 $2m-2n+1 = 0$，则极限为 $\cos^m\theta \sin^m\theta$，依赖于 $\theta$，一般不为0（例如 $\theta = \pi/4$ 时非零），故不可微；若 $2m-2n+1 < 0$，则极限无穷大，不可微。
公式：\frac{h^m k^m}{(h^2+k^2)^{n-\frac12}} = r^{2m-2n+1} \cos^m\theta \sin^m\theta
提示：极坐标下注意 $r$ 的指数，判断极限是否为零需考虑所有方向，指数等于0时方向依赖性导致极限不存在。
步骤 5/5
目标：总结结论
偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 总是存在且为0。函数在 $(0,0)$ 处可微当且仅当 $m - n > -\frac12$；若 $m - n \le -\frac12$，则不可微。
公式：\text{可微条件: } m - n > -\frac12
提示：注意 $m>0$，$n>0$ 是已知条件，偏导数存在性不依赖于 $n$，但可微性依赖于 $m$ 和 $n$ 的相对大小。
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