西南财经大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq \frac{3}{16}} \min \left\{\sqrt{\frac{3}{16}-x^{2}-y^{2}}, 2\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析问题并确定积分区域与被积函数
积分区域为圆盘 $x^2+y^2 \leq \frac{3}{16}$，半径为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$。被积函数为 $\min\left\{ \sqrt{\frac{3}{16}-x^2-y^2},\, 2(x^2+y^2) \right\}$，由于区域和函数均旋转对称，采用极坐标变换：$x=r\cos\theta,\, y=r\sin\theta,\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，积分区域变为 $0\leq r\leq \frac{\sqrt{3}}{4},\, 0\leq\theta\leq 2\pi$。
公式：$x=r\cos\theta,\, y=r\sin\theta,\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意极坐标变换中面积微元要乘以 $r$。
步骤 2/7
目标：确定两个函数的分界点
在极坐标下，被积函数为 $\min\left\{ \sqrt{\frac{3}{16}-r^2},\, 2r^2 \right\}$。解方程 $\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}=2r^2$，两边平方得 $\frac{3}{16}-r^2=4r^4$，整理得 $4r^4+r^2-\frac{3}{16}=0$，乘以16得 $64r^4+16r^2-3=0$。令 $u=r^2$，则 $64u^2+16u-3=0$，解得 $u=\frac{-16\pm\sqrt{256+768}}{128}=\frac{-16\pm32}{128}$，取正根 $u=\frac{1}{8}$，故 $r=\frac{1}{2\sqrt{2}}$。该值在半径 $\frac{\sqrt{3}}{4}\approx0.433$ 内。
公式：$\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}=2r^2 \Rightarrow r=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
提示：平方时注意两边非负，且解出的 $r$ 需在积分区域内。
步骤 3/7
目标：判断大小并划分积分区间
当 $r$ 较小时，$2r^2$ 较小，故在 $0\leq r\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ 时取 $2r^2$；当 $r$ 较大时，$\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}$ 较小，故在 $\frac{1}{2\sqrt{2}}\leq r\leq \frac{\sqrt{3}}{4}$ 时取 $\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}$。
公式：无
提示：可通过代入特殊值（如 $r=0$ 和 $r=\frac{\sqrt{3}}{4}$）验证大小关系。
步骤 4/7
目标：将二重积分化为累次积分
积分 $I=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left[\int_0^{1/(2\sqrt{2})}2r^2\cdot r\,\mathrm{d}r+\int_{1/(2\sqrt{2})}^{\sqrt{3}/4}\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}\cdot r\,\mathrm{d}r\right]$，其中角度部分积分为 $2\pi$。
公式：$I=2\pi\left(\int_0^{1/(2\sqrt{2})}2r^3\,\mathrm{d}r+\int_{1/(2\sqrt{2})}^{\sqrt{3}/4}\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}\,r\,\mathrm{d}r\right)$
提示：注意被积函数中的 $r$ 来自面积微元，不要遗漏。
步骤 5/7
目标：计算第一部分积分
计算 $\int_0^{1/(2\sqrt{2})}2r^3\,\mathrm{d}r=2\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{1/(2\sqrt{2})}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{(2\sqrt{2})^4}\right)$。由于 $(2\sqrt{2})^4=2^4\cdot(\sqrt{2})^4=16\cdot4=64$，故第一部分为 $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{128}$。
公式：$\int_0^{1/(2\sqrt{2})}2r^3\,\mathrm{d}r=\frac{1}{128}$
提示：计算幂次时注意 $(\sqrt{2})^4=4$。
步骤 6/7
目标：计算第二部分积分
令 $u=\frac{3}{16}-r^2$，则 $\mathrm{d}u=-2r\,\mathrm{d}r$，即 $r\,\mathrm{d}r=-\frac{1}{2}\mathrm{d}u$。当 $r=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ 时，$r^2=\frac{1}{8}$，$u=\frac{3}{16}-\frac{1}{8}=\frac{1}{16}$；当 $r=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 时，$r^2=\frac{3}{16}$，$u=0$。于是积分化为 $\int_{u=1/16}^{0}\sqrt{u}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\int_0^{1/16}u^{1/2}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^{1/16}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{16}\right)^{3/2}$。计算 $(1/16)^{3/2}=(1/16)\cdot(1/16)^{1/2}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$，故第二部分为 $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{192}$。
公式：$\int_{1/(2\sqrt{2})}^{\sqrt{3}/4}\sqrt{\frac{3}{16}-r^2}\,r\,\mathrm{d}r=\frac{1}{192}$
提示：换元时注意积分限的变化，并正确处理负号。
步骤 7/7
目标：合并结果并化简
两部分之和为 $\frac{1}{128}+\frac{1}{192}=\frac{3}{384}+\frac{2}{384}=\frac{5}{384}$，乘以 $2\pi$ 得 $I=2\pi\cdot\frac{5}{384}=\frac{10\pi}{384}=\frac{5\pi}{192}$。
公式：$I=\frac{5\pi}{192}$
提示：通分时取分母的最小公倍数384。
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