西南财经大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、已知 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{x y}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, k>1$ ，且
$$
D_{1}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{k}<y<k x\right.\right\}, D_{2}=\{(x, y) \mid x>0, y>0\}
$$
当 $\displaystyle i=1,2$ 时，分别判断 $\displaystyle \lim _{\substack{r \rightarrow+\infty \\(x, y) \in D_{i}}} f(x, y)$ 是否存在？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解区域定义与问题要求
函数 $f(x,y)=\frac{1}{xy}$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，$k>1$。区域 $D_1=\{(x,y)\mid \frac{x}{k}0,y>0\}$ 是第一象限。需要判断当 $r\to+\infty$ 且 $(x,y)\in D_i$ 时极限是否存在。
公式：$D_1: \frac{x}{k}0,y>0$
提示：注意 $D_1\subset D_2$，且 $k>1$ 保证区域是开口的角形。
步骤 2/5
目标：分析 $D_2$ 上的极限：尝试不同路径
在 $D_2$ 中，$x>0,y>0$。取路径1：沿 $y=x$，当 $x\to+\infty$ 时，$f(x,y)=\frac{1}{x^2}\to 0$。取路径2：沿 $y=1$ 固定，$x\to+\infty$，$f(x,y)=\frac{1}{x}\to 0$。取路径3：沿 $y=\frac{1}{x}$，当 $x\to+\infty$ 时，$y\to 0^+$，但 $r=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\to+\infty$，此时 $f(x,y)=\frac{1}{x\cdot(1/x)}=1$，不趋于0。
公式：沿 $y=1/x$：$f=1$；沿 $y=x$：$f\to 0$
提示：极限存在要求所有路径趋于同一值，这里出现不同值，故极限不存在。
步骤 3/5
目标：得出结论：$D_2$ 上极限不存在
由于存在两条路径（如 $y=x$ 和 $y=1/x$）使得 $r\to+\infty$ 时 $f(x,y)$ 分别趋于 $0$ 和 $1$，因此极限不存在。
公式：无
提示：注意 $y=1/x$ 路径上 $y\to0^+$ 但 $r\to+\infty$，仍属于 $D_2$。
步骤 4/5
目标：分析 $D_1$ 上的极限：利用夹逼准则
在 $D_1$ 中，由 $\frac{x}{k}
公式：$\frac{1}{k x^2}
提示：夹逼的关键是 $x$ 与 $y$ 同阶，不会出现一个趋于0另一个趋于无穷的情况。
步骤 5/5
目标：得出结论：$D_1$ 上极限存在且为0
在 $D_1$ 中，无论沿何种路径趋于无穷远，$f(x,y)$ 都被夹在 $\frac{1}{k x^2}$ 和 $\frac{k}{x^2}$ 之间，且 $x\to+\infty$，故极限为0，存在且唯一。
公式：$\lim\limits_{\substack{r\to+\infty\\(x,y)\in D_1}} f(x,y)=0$
提示：注意 $D_1$ 的限制排除了 $y$ 很小或很大的情况，保证了 $x$ 和 $y$ 同阶。
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